MATEMATICA
Corso di laurea magistrale
Piano di Studi
Curricula:
Modellistico
Primo anno
Istituzioni di analisi matematica (11 cfu)
- Spazi di Banach e Hilbert. Operatori lineari, completezza, convessità, dualità, teoria spettrale per operatori compatti su spazi di Hilbert ed applicazioni al problema di Sturm. Spazi di distribuzioni. Trasformata di Fourier di distribuzioni. Spazi di Sobolev, immersioni di Sobolev, compattezza e teorema di traccia.
- Spazi di Banach e Hilbert. Operatori lineari, completezza, convessità, dualità, teoria spettrale per operatori compatti su spazi di Hilbert ed applicazioni al problema di Sturm. Spazi di distribuzioni. Trasformata di Fourier di distribuzioni. Spazi di Sobolev, immersioni di Sobolev, compattezza e teorema di traccia.
Istituzioni di probabilità (11 cfu)
- Processi stocastici a tempi continui, processi di Markov: due esempi (processo di Wiener e processo di Poisson). Integrazione stocastica secondo Ito, formula di Ito e applicazioni. Equazioni differenziali stocastiche e legami con equazioni a derivate parziali. Alcune applicazioni (filtraggio e formule di Black-Scholes).
- Processi stocastici a tempi continui, processi di Markov: due esempi (processo di Wiener e processo di Poisson). Integrazione stocastica secondo Ito, formula di Ito e applicazioni. Equazioni differenziali stocastiche e legami con equazioni a derivate parziali. Alcune applicazioni (filtraggio e formule di Black-Scholes).
A scelta dello studente (6 cfu)
- Qualsiasi insegnamento attivato nell'Ateneo, purché coerente con il progetto formativo. La coerenza delle attività scelte dallo studente con il progetto formativo deve essere approvata dal Consiglio di Corso di Studio, anche tenendo conto degli specifici interessi culturali e di sviluppo di carriera dello studente.
- Qualsiasi insegnamento attivato nell'Ateneo, purché coerente con il progetto formativo. La coerenza delle attività scelte dallo studente con il progetto formativo deve essere approvata dal Consiglio di Corso di Studio, anche tenendo conto degli specifici interessi culturali e di sviluppo di carriera dello studente.
6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt
- Moduli affini e integrativi
Coomologia Étale (6 cfu)
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
Metodi numerici per equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
Aspetti matematici nella computazione quantistica (6 cfu)
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
Combinatoria algebrica (6 cfu)
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
Analisi superiore A (6 cfu)
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
Geometria iperbolica (6 cfu)
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
Fondamenti della matematica (6 cfu)
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
Geometria algebrica B (6 cfu)
- Varietà complesse, metodi trascendenti
- Varietà complesse, metodi trascendenti
Analisi complessa A (6 cfu)
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
Geometria simplettica (6 cfu)
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
Determinazione orbitale (6 cfu)
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
Logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
Problemi di evoluzione (6 cfu)
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
Calcolo scientifico (6 cfu)
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
Elementi di analisi complessa (6 cfu)
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
Calcolo delle variazioni B (6 cfu)
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)
- Modelli finiti e complessità computazionale
- Modelli finiti e complessità computazionale
Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
Dinamica olomorfa (6 cfu)
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
Spazi simmetrici (6 cfu)
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
Teoria del controllo ottimo (6 cfu)
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
Funzioni speciali (6 cfu)
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
Geometria algebrica C (6 cfu)
- Curve e superfici di Riemann.
- Curve e superfici di Riemann.
Probabilità (6 cfu)
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
Onde lineari e non lineari (6 cfu)
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
Algebra lineare e multilineare (6 cfu)
- Strutture algebriche lineari.
- Strutture algebriche lineari.
Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
Geometria di contatto (6 cfu)
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
Problem solving (6 cfu)
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
Teoria dei giochi (6 cfu)
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
Complementi di analisi funzionale (6 cfu)
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
Algebra computazionale A (6 cfu)
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
Sistemi dinamici (6 cfu)
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
Statistica Superiore (6 cfu)
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
Geometria degli spazi metrici (6 cfu)
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
Analisi convessa (6 cfu)
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
Spazi di funzioni (6 cfu)
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
Topologia generale (6 cfu)
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
Probabilità superiore (6 cfu)
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
Geometria algebrica D (6 cfu)
- Tori complessi e varietà abeliane.
- Tori complessi e varietà abeliane.
Elementi di algebra computazionale (6 cfu)
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
Campi ciclotomici (6 cfu)
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
Analisi microlocale (6 cfu)
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
Elementi di geometria algebrica (6 cfu)
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
Algebra 2 (6 cfu)
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
4-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
Analisi matematica 3 (6 cfu)
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
Algebra 1 (6 cfu)
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
Teoria delle categorie (6 cfu)
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
Matematica per l’insegnamento alla scuola secondaria di primo grado B (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
Teoria dei nodi B (6 cfu)
- Invarianti non classici.
- Invarianti non classici.
Teoria dei semigruppi (6 cfu)
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
Ricerca operativa (6 cfu)
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
Analisi non standard (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
Analisi superiore B (6 cfu)
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Spazi di Sobolev (6 cfu)
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di topologia algebrica (6 cfu)
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
Tecnologie per la didattica (6 cfu)
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
Curve ellittiche (6 cfu)
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
Gruppi algebrici lineari (6 cfu)
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
Applicazioni della fluidodinamica alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
Applicazioni di equazioni differenziali alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
Teoria dei gruppi (6 cfu)
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
3-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
Fisica III (6 cfu)
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
Geometria algebrica E (6 cfu)
- Superfici algebriche.
- Superfici algebriche.
Teoria ergodica (6 cfu)
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
Teoria dei codici (6 cfu)
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
Teoria dei numeri elementare (6 cfu)
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
Geometria reale computazionale (6 cfu)
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
Topologia Algebrica A (6 cfu)
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
Superfici minime (6 cfu)
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
Analisi complessa B (6 cfu)
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
Teoria dei controlli (6 cfu)
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
Dinamica iperbolica (6 cfu)
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
Algebra omologica (6 cfu)
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
Analisi in spazi metrici (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
Topologia differenziale (6 cfu)
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
Equazioni ellittiche (6 cfu)
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
Meccanica celeste (6 cfu)
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
Elementi di meccanica celeste (6 cfu)
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
Storia della matematica (6 cfu)
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
Algebra computazionale B (6 cfu)
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
Complementi di fisica (6 cfu)
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
Statistica matematica (6 cfu)
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
Analisi reale (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
Meccanica spaziale (6 cfu)
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
Dinamica del sistema solare (6 cfu)
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
Processi stocastici (6 cfu)
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
Teoria dei nodi A (6 cfu)
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
Meccanica superiore (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
Geometria algebrica F (6 cfu)
- Varietà toriche.
- Varietà toriche.
Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
Finanza matematica (6 cfu)
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
Gruppi di Coxeter (6 cfu)
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
Teoria della misura (6 cfu)
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
Geometria reale B (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
Meccanica relativistica (6 cfu)
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
Meccanica razionale (6 cfu)
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
Metodi numerici per la grafica (6 cfu)
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
Crittografia post-quantistica (6 cfu)
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
Teoria algebrica dei numeri 3 (6 cfu)
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
Algebra non commutativa (6 cfu)
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
Metodi di approssimazione (6 cfu)
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
Forme modulari (6 cfu)
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
Teoria delle funzioni (6 cfu)
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
Elementi di logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
Teoria della dimostrazione (6 cfu)
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
Geometria reale A (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
Teoria della calcolabilità (6 cfu)
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
Geometria algebrica G (6 cfu)
- Varietà algebriche di dimensione alta
- Varietà algebriche di dimensione alta
Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
Teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
Analisi armonica (6 cfu)
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
Calcolo delle variazioni A (6 cfu)
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
Analisi geometrica (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
Geometria riemanniana (6 cfu)
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
Teoria dei modelli (6 cfu)
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
Metodi di analisi armonica in analisi non lineare (6 cfu)
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
Topologia Algebrica B (6 cfu)
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
Teoria degli insiemi A (6 cfu)
- Insiemi costruibili e forcing.
- Insiemi costruibili e forcing.
Teoria degli insiemi B (6 cfu)
- Grandi cardinali.
- Grandi cardinali.
Rappresentazioni di Galois p-adiche (6 cfu)
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
2-varietà (6 cfu)
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
Algebra superiore B (6 cfu)
- Algebre e loro rappresentazioni
- Algebre e loro rappresentazioni
Matematica per l'insegnamento alla scuola secondaria di primo grado A (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Geometria e topologia differenziale (6 cfu)
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
Geometria differenziale complessa (6 cfu)
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
Matematica discreta (6 cfu)
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
Algebra superiore A (6 cfu)
- Algebra commutativa.
- Algebra commutativa.
Sistemi dinamici discreti (6 cfu)
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
Fisica matematica (6 cfu)
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
Problemi e metodi in storia della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Metodi matematici della crittografia (6 cfu)
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
Analisi dei dati (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
Equazioni iperboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
Geometria reale C (6 cfu)
- Topologia delle curve e superfici reali.
- Topologia delle curve e superfici reali.
Equazioni paraboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
Geometria algebrica A (6 cfu)
- Schemi, fasci, coomologia.
- Schemi, fasci, coomologia.
Analisi non lineare (6 cfu)
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
Matematica e musica (6 cfu)
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
Complementi di didattica della matematica (6 cfu)
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
Meccanica dei continui (6 cfu)
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
Funzioni L (6 cfu)
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
Teorie in didattica della matematica (6 cfu)
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
6 cfu a scelta nel gruppo ModAppl
- Moduli applicativi
Metodi numerici per equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
Aspetti matematici nella computazione quantistica (6 cfu)
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
Determinazione orbitale (6 cfu)
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
Calcolo scientifico (6 cfu)
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
Probabilità (6 cfu)
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
Teoria dei giochi (6 cfu)
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
Sistemi dinamici (6 cfu)
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
Statistica Superiore (6 cfu)
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
Ricerca operativa (6 cfu)
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
Meccanica celeste (6 cfu)
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
Elementi di meccanica celeste (6 cfu)
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
Statistica matematica (6 cfu)
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
Meccanica spaziale (6 cfu)
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
Dinamica del sistema solare (6 cfu)
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
Meccanica superiore (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
Meccanica razionale (6 cfu)
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
Metodi numerici per la grafica (6 cfu)
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
Metodi di approssimazione (6 cfu)
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
Fisica matematica (6 cfu)
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
Analisi dei dati (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
6 cfu a scelta nel gruppo ModAppl
- Moduli applicativi
Metodi numerici per equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
Aspetti matematici nella computazione quantistica (6 cfu)
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
Determinazione orbitale (6 cfu)
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
Calcolo scientifico (6 cfu)
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
Probabilità (6 cfu)
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
Teoria dei giochi (6 cfu)
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
Sistemi dinamici (6 cfu)
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
Statistica Superiore (6 cfu)
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
Ricerca operativa (6 cfu)
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
Meccanica celeste (6 cfu)
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
Elementi di meccanica celeste (6 cfu)
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
Statistica matematica (6 cfu)
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
Meccanica spaziale (6 cfu)
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
Dinamica del sistema solare (6 cfu)
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
Meccanica superiore (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
Meccanica razionale (6 cfu)
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
Metodi numerici per la grafica (6 cfu)
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
Metodi di approssimazione (6 cfu)
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
Fisica matematica (6 cfu)
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
Analisi dei dati (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
6 cfu a scelta nel gruppo ModTeor
- Moduli teorici
Combinatoria algebrica (6 cfu)
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
Analisi superiore A (6 cfu)
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
Geometria iperbolica (6 cfu)
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
Geometria algebrica B (6 cfu)
- Varietà complesse, metodi trascendenti
- Varietà complesse, metodi trascendenti
Analisi complessa A (6 cfu)
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
Logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
Problemi di evoluzione (6 cfu)
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
Elementi di analisi complessa (6 cfu)
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
Dinamica olomorfa (6 cfu)
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
Geometria algebrica C (6 cfu)
- Curve e superfici di Riemann.
- Curve e superfici di Riemann.
Algebra computazionale A (6 cfu)
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
Analisi convessa (6 cfu)
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di algebra computazionale (6 cfu)
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
Elementi di geometria algebrica (6 cfu)
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
Algebra 2 (6 cfu)
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
Analisi matematica 3 (6 cfu)
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
Teoria dei nodi B (6 cfu)
- Invarianti non classici.
- Invarianti non classici.
Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
Analisi superiore B (6 cfu)
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
Spazi di Sobolev (6 cfu)
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di topologia algebrica (6 cfu)
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
3-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
Teoria dei numeri elementare (6 cfu)
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
Topologia Algebrica A (6 cfu)
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
Teoria dei controlli (6 cfu)
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
Topologia differenziale (6 cfu)
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
Equazioni ellittiche (6 cfu)
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
Algebra computazionale B (6 cfu)
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
Teoria dei nodi A (6 cfu)
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
Teoria della misura (6 cfu)
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
Geometria reale B (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
Geometria reale A (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
Analisi armonica (6 cfu)
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
Calcolo delle variazioni A (6 cfu)
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
Geometria riemanniana (6 cfu)
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
Teoria dei modelli (6 cfu)
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
Topologia Algebrica B (6 cfu)
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
Teoria degli insiemi A (6 cfu)
- Insiemi costruibili e forcing.
- Insiemi costruibili e forcing.
Teoria degli insiemi B (6 cfu)
- Grandi cardinali.
- Grandi cardinali.
Algebra superiore B (6 cfu)
- Algebre e loro rappresentazioni
- Algebre e loro rappresentazioni
Geometria e topologia differenziale (6 cfu)
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
Geometria differenziale complessa (6 cfu)
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
Algebra superiore A (6 cfu)
- Algebra commutativa.
- Algebra commutativa.
Equazioni iperboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
Geometria algebrica A (6 cfu)
- Schemi, fasci, coomologia.
- Schemi, fasci, coomologia.
Analisi non lineare (6 cfu)
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
6 cfu a scelta nel gruppo ModTeor
- Moduli teorici
Combinatoria algebrica (6 cfu)
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
Analisi superiore A (6 cfu)
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
Geometria iperbolica (6 cfu)
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
Geometria algebrica B (6 cfu)
- Varietà complesse, metodi trascendenti
- Varietà complesse, metodi trascendenti
Analisi complessa A (6 cfu)
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
Logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
Problemi di evoluzione (6 cfu)
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
Elementi di analisi complessa (6 cfu)
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
Dinamica olomorfa (6 cfu)
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
Geometria algebrica C (6 cfu)
- Curve e superfici di Riemann.
- Curve e superfici di Riemann.
Algebra computazionale A (6 cfu)
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
Analisi convessa (6 cfu)
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di algebra computazionale (6 cfu)
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
Elementi di geometria algebrica (6 cfu)
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
Algebra 2 (6 cfu)
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
Analisi matematica 3 (6 cfu)
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
Teoria dei nodi B (6 cfu)
- Invarianti non classici.
- Invarianti non classici.
Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
Analisi superiore B (6 cfu)
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
Spazi di Sobolev (6 cfu)
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di topologia algebrica (6 cfu)
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
3-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
Teoria dei numeri elementare (6 cfu)
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
Topologia Algebrica A (6 cfu)
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
Teoria dei controlli (6 cfu)
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
Topologia differenziale (6 cfu)
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
Equazioni ellittiche (6 cfu)
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
Algebra computazionale B (6 cfu)
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
Teoria dei nodi A (6 cfu)
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
Teoria della misura (6 cfu)
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
Geometria reale B (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
Geometria reale A (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
Analisi armonica (6 cfu)
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
Calcolo delle variazioni A (6 cfu)
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
Geometria riemanniana (6 cfu)
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
Teoria dei modelli (6 cfu)
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
Topologia Algebrica B (6 cfu)
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
Teoria degli insiemi A (6 cfu)
- Insiemi costruibili e forcing.
- Insiemi costruibili e forcing.
Teoria degli insiemi B (6 cfu)
- Grandi cardinali.
- Grandi cardinali.
Algebra superiore B (6 cfu)
- Algebre e loro rappresentazioni
- Algebre e loro rappresentazioni
Geometria e topologia differenziale (6 cfu)
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
Geometria differenziale complessa (6 cfu)
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
Algebra superiore A (6 cfu)
- Algebra commutativa.
- Algebra commutativa.
Equazioni iperboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
Geometria algebrica A (6 cfu)
- Schemi, fasci, coomologia.
- Schemi, fasci, coomologia.
Analisi non lineare (6 cfu)
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
Prova finale (27 cfu)
- La prova finale del corso di Laurea Magistrale in Matematica consiste nella stesura di una tesi (in italiano o in inglese) elaborata in modo originale dallo studente con l’assistenza di almeno un docente (relatore), eventualmente esterno al corso di studi, e in una esposizione orale conclusiva del lavoro svolto. La prova finale verrà valutata in base alla originalità dei risultati, alla padronanza dell’argomento, all’autonomia e alle capacità espositiva e di ricerca bibliografica mostrate dal candidato. La redazione della tesi può eventualmente avvenire anche all’interno di un tirocinio formativo (stage) presso aziende o laboratori esterni, o durante soggiorni di studio presso altre università italiane ed estere, anche nel quadro di accordi internazionali.
Alla prova finale sono attribuiti 27 CFU, di cui 1 CFU corrispondente a ulteriori attività formative utili per l’inserimento nel mondo del lavoro.
Nomina del controrelatore.
La tesi dev’essere esaminata anche da un controrelatore, che produrrà un parere da presentare in fase
di discussione finale. Se il relatore è esterno al dipartimento di Matematica dell’Università di Pisa, allora il controrelatore dev’essere scelto fra i docenti afferenti al dipartimento di Matematica dell’Università di Pisa. La nomina del controrelatore spetta al presidente di corso di laurea magistrale in Matematica, partendo (ma non necessariamente limitandosi a) uno o più nominativi che devono essere suggeriti dal relatore con almeno un mese d’anticipo sulla sessione di laurea in cui sarà discussa la tesi.
- La prova finale del corso di Laurea Magistrale in Matematica consiste nella stesura di una tesi (in italiano o in inglese) elaborata in modo originale dallo studente con l’assistenza di almeno un docente (relatore), eventualmente esterno al corso di studi, e in una esposizione orale conclusiva del lavoro svolto. La prova finale verrà valutata in base alla originalità dei risultati, alla padronanza dell’argomento, all’autonomia e alle capacità espositiva e di ricerca bibliografica mostrate dal candidato. La redazione della tesi può eventualmente avvenire anche all’interno di un tirocinio formativo (stage) presso aziende o laboratori esterni, o durante soggiorni di studio presso altre università italiane ed estere, anche nel quadro di accordi internazionali.
A scelta dello studente (6 cfu)
- Qualsiasi insegnamento attivato nell'Ateneo, purché coerente con il progetto formativo. La coerenza delle attività scelte dallo studente con il progetto formativo deve essere approvata dal Consiglio di Corso di Studio, anche tenendo conto degli specifici interessi culturali e di sviluppo di carriera dello studente.
- Qualsiasi insegnamento attivato nell'Ateneo, purché coerente con il progetto formativo. La coerenza delle attività scelte dallo studente con il progetto formativo deve essere approvata dal Consiglio di Corso di Studio, anche tenendo conto degli specifici interessi culturali e di sviluppo di carriera dello studente.
6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt
- Moduli affini e integrativi
Coomologia Étale (6 cfu)
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
Metodi numerici per equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
Aspetti matematici nella computazione quantistica (6 cfu)
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
Combinatoria algebrica (6 cfu)
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
Analisi superiore A (6 cfu)
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
Geometria iperbolica (6 cfu)
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
Fondamenti della matematica (6 cfu)
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
Geometria algebrica B (6 cfu)
- Varietà complesse, metodi trascendenti
- Varietà complesse, metodi trascendenti
Analisi complessa A (6 cfu)
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
Geometria simplettica (6 cfu)
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
Determinazione orbitale (6 cfu)
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
Logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
Problemi di evoluzione (6 cfu)
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
Calcolo scientifico (6 cfu)
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
Elementi di analisi complessa (6 cfu)
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
Calcolo delle variazioni B (6 cfu)
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)
- Modelli finiti e complessità computazionale
- Modelli finiti e complessità computazionale
Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
Dinamica olomorfa (6 cfu)
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
Spazi simmetrici (6 cfu)
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
Teoria del controllo ottimo (6 cfu)
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
Funzioni speciali (6 cfu)
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
Geometria algebrica C (6 cfu)
- Curve e superfici di Riemann.
- Curve e superfici di Riemann.
Probabilità (6 cfu)
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
Onde lineari e non lineari (6 cfu)
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
Algebra lineare e multilineare (6 cfu)
- Strutture algebriche lineari.
- Strutture algebriche lineari.
Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
Geometria di contatto (6 cfu)
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
Problem solving (6 cfu)
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
Teoria dei giochi (6 cfu)
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
Complementi di analisi funzionale (6 cfu)
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
Algebra computazionale A (6 cfu)
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
Sistemi dinamici (6 cfu)
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
Statistica Superiore (6 cfu)
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
Geometria degli spazi metrici (6 cfu)
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
Analisi convessa (6 cfu)
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
Spazi di funzioni (6 cfu)
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
Topologia generale (6 cfu)
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
Probabilità superiore (6 cfu)
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
Geometria algebrica D (6 cfu)
- Tori complessi e varietà abeliane.
- Tori complessi e varietà abeliane.
Elementi di algebra computazionale (6 cfu)
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
Campi ciclotomici (6 cfu)
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
Analisi microlocale (6 cfu)
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
Elementi di geometria algebrica (6 cfu)
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
Algebra 2 (6 cfu)
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
4-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
Analisi matematica 3 (6 cfu)
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
Algebra 1 (6 cfu)
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
Teoria delle categorie (6 cfu)
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
Matematica per l’insegnamento alla scuola secondaria di primo grado B (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
Teoria dei nodi B (6 cfu)
- Invarianti non classici.
- Invarianti non classici.
Teoria dei semigruppi (6 cfu)
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
Ricerca operativa (6 cfu)
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
Analisi non standard (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
Analisi superiore B (6 cfu)
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Spazi di Sobolev (6 cfu)
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di topologia algebrica (6 cfu)
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
Tecnologie per la didattica (6 cfu)
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
Curve ellittiche (6 cfu)
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
Gruppi algebrici lineari (6 cfu)
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
Applicazioni della fluidodinamica alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
Applicazioni di equazioni differenziali alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
Teoria dei gruppi (6 cfu)
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
3-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
Fisica III (6 cfu)
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
Geometria algebrica E (6 cfu)
- Superfici algebriche.
- Superfici algebriche.
Teoria ergodica (6 cfu)
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
Teoria dei codici (6 cfu)
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
Teoria dei numeri elementare (6 cfu)
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
Geometria reale computazionale (6 cfu)
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
Topologia Algebrica A (6 cfu)
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
Superfici minime (6 cfu)
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
Analisi complessa B (6 cfu)
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
Teoria dei controlli (6 cfu)
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
Dinamica iperbolica (6 cfu)
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
Algebra omologica (6 cfu)
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
Analisi in spazi metrici (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
Topologia differenziale (6 cfu)
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
Equazioni ellittiche (6 cfu)
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
Meccanica celeste (6 cfu)
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
Elementi di meccanica celeste (6 cfu)
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
Storia della matematica (6 cfu)
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
Algebra computazionale B (6 cfu)
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
Complementi di fisica (6 cfu)
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
Statistica matematica (6 cfu)
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
Analisi reale (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
Meccanica spaziale (6 cfu)
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
Dinamica del sistema solare (6 cfu)
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
Processi stocastici (6 cfu)
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
Teoria dei nodi A (6 cfu)
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
Meccanica superiore (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
Geometria algebrica F (6 cfu)
- Varietà toriche.
- Varietà toriche.
Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
Finanza matematica (6 cfu)
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
Gruppi di Coxeter (6 cfu)
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
Teoria della misura (6 cfu)
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
Geometria reale B (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
Meccanica relativistica (6 cfu)
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
Meccanica razionale (6 cfu)
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
Metodi numerici per la grafica (6 cfu)
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
Crittografia post-quantistica (6 cfu)
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
Teoria algebrica dei numeri 3 (6 cfu)
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
Algebra non commutativa (6 cfu)
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
Metodi di approssimazione (6 cfu)
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
Forme modulari (6 cfu)
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
Teoria delle funzioni (6 cfu)
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
Elementi di logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
Teoria della dimostrazione (6 cfu)
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
Geometria reale A (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
Teoria della calcolabilità (6 cfu)
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
Geometria algebrica G (6 cfu)
- Varietà algebriche di dimensione alta
- Varietà algebriche di dimensione alta
Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
Teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
Analisi armonica (6 cfu)
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
Calcolo delle variazioni A (6 cfu)
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
Analisi geometrica (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
Geometria riemanniana (6 cfu)
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
Teoria dei modelli (6 cfu)
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
Metodi di analisi armonica in analisi non lineare (6 cfu)
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
Topologia Algebrica B (6 cfu)
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
Teoria degli insiemi A (6 cfu)
- Insiemi costruibili e forcing.
- Insiemi costruibili e forcing.
Teoria degli insiemi B (6 cfu)
- Grandi cardinali.
- Grandi cardinali.
Rappresentazioni di Galois p-adiche (6 cfu)
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
2-varietà (6 cfu)
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
Algebra superiore B (6 cfu)
- Algebre e loro rappresentazioni
- Algebre e loro rappresentazioni
Matematica per l'insegnamento alla scuola secondaria di primo grado A (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Geometria e topologia differenziale (6 cfu)
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
Geometria differenziale complessa (6 cfu)
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
Matematica discreta (6 cfu)
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
Algebra superiore A (6 cfu)
- Algebra commutativa.
- Algebra commutativa.
Sistemi dinamici discreti (6 cfu)
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
Fisica matematica (6 cfu)
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
Problemi e metodi in storia della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Metodi matematici della crittografia (6 cfu)
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
Analisi dei dati (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
Equazioni iperboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
Geometria reale C (6 cfu)
- Topologia delle curve e superfici reali.
- Topologia delle curve e superfici reali.
Equazioni paraboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
Geometria algebrica A (6 cfu)
- Schemi, fasci, coomologia.
- Schemi, fasci, coomologia.
Analisi non lineare (6 cfu)
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
Matematica e musica (6 cfu)
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
Complementi di didattica della matematica (6 cfu)
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
Meccanica dei continui (6 cfu)
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
Funzioni L (6 cfu)
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
Teorie in didattica della matematica (6 cfu)
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt
- Moduli affini e integrativi
Coomologia Étale (6 cfu)
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
Metodi numerici per equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
Aspetti matematici nella computazione quantistica (6 cfu)
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
Combinatoria algebrica (6 cfu)
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
Analisi superiore A (6 cfu)
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
Geometria iperbolica (6 cfu)
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
Fondamenti della matematica (6 cfu)
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
Geometria algebrica B (6 cfu)
- Varietà complesse, metodi trascendenti
- Varietà complesse, metodi trascendenti
Analisi complessa A (6 cfu)
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
Geometria simplettica (6 cfu)
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
Determinazione orbitale (6 cfu)
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
Logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
Problemi di evoluzione (6 cfu)
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
Calcolo scientifico (6 cfu)
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
Elementi di analisi complessa (6 cfu)
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
Calcolo delle variazioni B (6 cfu)
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)
- Modelli finiti e complessità computazionale
- Modelli finiti e complessità computazionale
Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
Dinamica olomorfa (6 cfu)
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
Spazi simmetrici (6 cfu)
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
Teoria del controllo ottimo (6 cfu)
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
Funzioni speciali (6 cfu)
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
Geometria algebrica C (6 cfu)
- Curve e superfici di Riemann.
- Curve e superfici di Riemann.
Probabilità (6 cfu)
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
Onde lineari e non lineari (6 cfu)
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
Algebra lineare e multilineare (6 cfu)
- Strutture algebriche lineari.
- Strutture algebriche lineari.
Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
Geometria di contatto (6 cfu)
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
Problem solving (6 cfu)
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
Teoria dei giochi (6 cfu)
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
Complementi di analisi funzionale (6 cfu)
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
Algebra computazionale A (6 cfu)
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
Sistemi dinamici (6 cfu)
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
Statistica Superiore (6 cfu)
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
Geometria degli spazi metrici (6 cfu)
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
Analisi convessa (6 cfu)
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
Spazi di funzioni (6 cfu)
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
Topologia generale (6 cfu)
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
Probabilità superiore (6 cfu)
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
Geometria algebrica D (6 cfu)
- Tori complessi e varietà abeliane.
- Tori complessi e varietà abeliane.
Elementi di algebra computazionale (6 cfu)
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
Campi ciclotomici (6 cfu)
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
Analisi microlocale (6 cfu)
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
Elementi di geometria algebrica (6 cfu)
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
Algebra 2 (6 cfu)
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
4-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
Analisi matematica 3 (6 cfu)
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
Algebra 1 (6 cfu)
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
Teoria delle categorie (6 cfu)
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
Matematica per l’insegnamento alla scuola secondaria di primo grado B (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
Teoria dei nodi B (6 cfu)
- Invarianti non classici.
- Invarianti non classici.
Teoria dei semigruppi (6 cfu)
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
Ricerca operativa (6 cfu)
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
Analisi non standard (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
Analisi superiore B (6 cfu)
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Spazi di Sobolev (6 cfu)
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di topologia algebrica (6 cfu)
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
Tecnologie per la didattica (6 cfu)
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
Curve ellittiche (6 cfu)
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
Gruppi algebrici lineari (6 cfu)
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
Applicazioni della fluidodinamica alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
Applicazioni di equazioni differenziali alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
Teoria dei gruppi (6 cfu)
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
3-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
Fisica III (6 cfu)
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
Geometria algebrica E (6 cfu)
- Superfici algebriche.
- Superfici algebriche.
Teoria ergodica (6 cfu)
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
Teoria dei codici (6 cfu)
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
Teoria dei numeri elementare (6 cfu)
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
Geometria reale computazionale (6 cfu)
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
Topologia Algebrica A (6 cfu)
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
Superfici minime (6 cfu)
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
Analisi complessa B (6 cfu)
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
Teoria dei controlli (6 cfu)
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
Dinamica iperbolica (6 cfu)
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
Algebra omologica (6 cfu)
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
Analisi in spazi metrici (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
Topologia differenziale (6 cfu)
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
Equazioni ellittiche (6 cfu)
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
Meccanica celeste (6 cfu)
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
Elementi di meccanica celeste (6 cfu)
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
Storia della matematica (6 cfu)
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
Algebra computazionale B (6 cfu)
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
Complementi di fisica (6 cfu)
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
Statistica matematica (6 cfu)
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
Analisi reale (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
Meccanica spaziale (6 cfu)
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
Dinamica del sistema solare (6 cfu)
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
Processi stocastici (6 cfu)
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
Teoria dei nodi A (6 cfu)
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
Meccanica superiore (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
Geometria algebrica F (6 cfu)
- Varietà toriche.
- Varietà toriche.
Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
Finanza matematica (6 cfu)
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
Gruppi di Coxeter (6 cfu)
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
Teoria della misura (6 cfu)
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
Geometria reale B (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
Meccanica relativistica (6 cfu)
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
Meccanica razionale (6 cfu)
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
Metodi numerici per la grafica (6 cfu)
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
Crittografia post-quantistica (6 cfu)
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
Teoria algebrica dei numeri 3 (6 cfu)
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
Algebra non commutativa (6 cfu)
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
Metodi di approssimazione (6 cfu)
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
Forme modulari (6 cfu)
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
Teoria delle funzioni (6 cfu)
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
Elementi di logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
Teoria della dimostrazione (6 cfu)
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
Geometria reale A (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
Teoria della calcolabilità (6 cfu)
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
Geometria algebrica G (6 cfu)
- Varietà algebriche di dimensione alta
- Varietà algebriche di dimensione alta
Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
Teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
Analisi armonica (6 cfu)
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
Calcolo delle variazioni A (6 cfu)
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
Analisi geometrica (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
Geometria riemanniana (6 cfu)
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
Teoria dei modelli (6 cfu)
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
Metodi di analisi armonica in analisi non lineare (6 cfu)
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
Topologia Algebrica B (6 cfu)
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
Teoria degli insiemi A (6 cfu)
- Insiemi costruibili e forcing.
- Insiemi costruibili e forcing.
Teoria degli insiemi B (6 cfu)
- Grandi cardinali.
- Grandi cardinali.
Rappresentazioni di Galois p-adiche (6 cfu)
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
2-varietà (6 cfu)
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
Algebra superiore B (6 cfu)
- Algebre e loro rappresentazioni
- Algebre e loro rappresentazioni
Matematica per l'insegnamento alla scuola secondaria di primo grado A (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Geometria e topologia differenziale (6 cfu)
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
Geometria differenziale complessa (6 cfu)
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
Matematica discreta (6 cfu)
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
Algebra superiore A (6 cfu)
- Algebra commutativa.
- Algebra commutativa.
Sistemi dinamici discreti (6 cfu)
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
Fisica matematica (6 cfu)
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
Problemi e metodi in storia della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Metodi matematici della crittografia (6 cfu)
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
Analisi dei dati (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
Equazioni iperboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
Geometria reale C (6 cfu)
- Topologia delle curve e superfici reali.
- Topologia delle curve e superfici reali.
Equazioni paraboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
Geometria algebrica A (6 cfu)
- Schemi, fasci, coomologia.
- Schemi, fasci, coomologia.
Analisi non lineare (6 cfu)
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
Matematica e musica (6 cfu)
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
Complementi di didattica della matematica (6 cfu)
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
Meccanica dei continui (6 cfu)
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
Funzioni L (6 cfu)
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
Teorie in didattica della matematica (6 cfu)
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt
- Moduli affini e integrativi
Coomologia Étale (6 cfu)
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
Metodi numerici per equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
Aspetti matematici nella computazione quantistica (6 cfu)
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
Combinatoria algebrica (6 cfu)
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
Analisi superiore A (6 cfu)
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
Geometria iperbolica (6 cfu)
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
Fondamenti della matematica (6 cfu)
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
Geometria algebrica B (6 cfu)
- Varietà complesse, metodi trascendenti
- Varietà complesse, metodi trascendenti
Analisi complessa A (6 cfu)
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
Geometria simplettica (6 cfu)
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
Determinazione orbitale (6 cfu)
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
Logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
Problemi di evoluzione (6 cfu)
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
Calcolo scientifico (6 cfu)
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
Elementi di analisi complessa (6 cfu)
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
Calcolo delle variazioni B (6 cfu)
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)
- Modelli finiti e complessità computazionale
- Modelli finiti e complessità computazionale
Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
Dinamica olomorfa (6 cfu)
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
Spazi simmetrici (6 cfu)
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
Teoria del controllo ottimo (6 cfu)
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
Funzioni speciali (6 cfu)
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
Geometria algebrica C (6 cfu)
- Curve e superfici di Riemann.
- Curve e superfici di Riemann.
Probabilità (6 cfu)
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
Onde lineari e non lineari (6 cfu)
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
Algebra lineare e multilineare (6 cfu)
- Strutture algebriche lineari.
- Strutture algebriche lineari.
Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
Geometria di contatto (6 cfu)
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
Problem solving (6 cfu)
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
Teoria dei giochi (6 cfu)
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
Complementi di analisi funzionale (6 cfu)
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
Algebra computazionale A (6 cfu)
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
Sistemi dinamici (6 cfu)
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
Statistica Superiore (6 cfu)
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
Geometria degli spazi metrici (6 cfu)
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
Analisi convessa (6 cfu)
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
Spazi di funzioni (6 cfu)
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
Topologia generale (6 cfu)
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
Probabilità superiore (6 cfu)
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
Geometria algebrica D (6 cfu)
- Tori complessi e varietà abeliane.
- Tori complessi e varietà abeliane.
Elementi di algebra computazionale (6 cfu)
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
Campi ciclotomici (6 cfu)
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
Analisi microlocale (6 cfu)
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
Elementi di geometria algebrica (6 cfu)
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
Algebra 2 (6 cfu)
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
4-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
Analisi matematica 3 (6 cfu)
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
Algebra 1 (6 cfu)
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
Teoria delle categorie (6 cfu)
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
Matematica per l’insegnamento alla scuola secondaria di primo grado B (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
Teoria dei nodi B (6 cfu)
- Invarianti non classici.
- Invarianti non classici.
Teoria dei semigruppi (6 cfu)
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
Ricerca operativa (6 cfu)
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
Analisi non standard (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
Analisi superiore B (6 cfu)
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Spazi di Sobolev (6 cfu)
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di topologia algebrica (6 cfu)
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
Tecnologie per la didattica (6 cfu)
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
Curve ellittiche (6 cfu)
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
Gruppi algebrici lineari (6 cfu)
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
Applicazioni della fluidodinamica alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
Applicazioni di equazioni differenziali alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
Teoria dei gruppi (6 cfu)
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
3-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
Fisica III (6 cfu)
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
Geometria algebrica E (6 cfu)
- Superfici algebriche.
- Superfici algebriche.
Teoria ergodica (6 cfu)
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
Teoria dei codici (6 cfu)
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
Teoria dei numeri elementare (6 cfu)
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
Geometria reale computazionale (6 cfu)
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
Topologia Algebrica A (6 cfu)
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
Superfici minime (6 cfu)
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
Analisi complessa B (6 cfu)
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
Teoria dei controlli (6 cfu)
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
Dinamica iperbolica (6 cfu)
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
Algebra omologica (6 cfu)
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
Analisi in spazi metrici (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
Topologia differenziale (6 cfu)
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
Equazioni ellittiche (6 cfu)
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
Meccanica celeste (6 cfu)
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
Elementi di meccanica celeste (6 cfu)
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
Storia della matematica (6 cfu)
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
Algebra computazionale B (6 cfu)
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
Complementi di fisica (6 cfu)
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
Statistica matematica (6 cfu)
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
Analisi reale (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
Meccanica spaziale (6 cfu)
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
Dinamica del sistema solare (6 cfu)
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
Processi stocastici (6 cfu)
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
Teoria dei nodi A (6 cfu)
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
Meccanica superiore (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
Geometria algebrica F (6 cfu)
- Varietà toriche.
- Varietà toriche.
Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
Finanza matematica (6 cfu)
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
Gruppi di Coxeter (6 cfu)
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
Teoria della misura (6 cfu)
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
Geometria reale B (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
Meccanica relativistica (6 cfu)
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
Meccanica razionale (6 cfu)
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
Metodi numerici per la grafica (6 cfu)
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
Crittografia post-quantistica (6 cfu)
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
Teoria algebrica dei numeri 3 (6 cfu)
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
Algebra non commutativa (6 cfu)
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
Metodi di approssimazione (6 cfu)
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
Forme modulari (6 cfu)
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
Teoria delle funzioni (6 cfu)
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
Elementi di logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
Teoria della dimostrazione (6 cfu)
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
Geometria reale A (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
Teoria della calcolabilità (6 cfu)
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
Geometria algebrica G (6 cfu)
- Varietà algebriche di dimensione alta
- Varietà algebriche di dimensione alta
Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
Teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
Analisi armonica (6 cfu)
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
Calcolo delle variazioni A (6 cfu)
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
Analisi geometrica (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
Geometria riemanniana (6 cfu)
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
Teoria dei modelli (6 cfu)
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
Metodi di analisi armonica in analisi non lineare (6 cfu)
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
Topologia Algebrica B (6 cfu)
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
Teoria degli insiemi A (6 cfu)
- Insiemi costruibili e forcing.
- Insiemi costruibili e forcing.
Teoria degli insiemi B (6 cfu)
- Grandi cardinali.
- Grandi cardinali.
Rappresentazioni di Galois p-adiche (6 cfu)
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
2-varietà (6 cfu)
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
Algebra superiore B (6 cfu)
- Algebre e loro rappresentazioni
- Algebre e loro rappresentazioni
Matematica per l'insegnamento alla scuola secondaria di primo grado A (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Geometria e topologia differenziale (6 cfu)
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
Geometria differenziale complessa (6 cfu)
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
Matematica discreta (6 cfu)
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
Algebra superiore A (6 cfu)
- Algebra commutativa.
- Algebra commutativa.
Sistemi dinamici discreti (6 cfu)
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
Fisica matematica (6 cfu)
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
Problemi e metodi in storia della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Metodi matematici della crittografia (6 cfu)
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
Analisi dei dati (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
Equazioni iperboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
Geometria reale C (6 cfu)
- Topologia delle curve e superfici reali.
- Topologia delle curve e superfici reali.
Equazioni paraboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
Geometria algebrica A (6 cfu)
- Schemi, fasci, coomologia.
- Schemi, fasci, coomologia.
Analisi non lineare (6 cfu)
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
Matematica e musica (6 cfu)
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
Complementi di didattica della matematica (6 cfu)
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
Meccanica dei continui (6 cfu)
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
Funzioni L (6 cfu)
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
Teorie in didattica della matematica (6 cfu)
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
11 cfu a scelta nel gruppo IstFisNum
- Istituzioni fisico-numeriche
Istituzioni di fisica matematica (11 cfu)
- Principi variazionali della Meccanica ed equazioni di Eulero-Lagrange, dinamica e geodetiche, sistemi hamiltoniani, trasformazioni canoniche, equazione di Hamilton-Jacobi, problemi integrabili e teorema di Liouville-Arnold, introduzione alla teoria delle perturbazioni.
- Principi variazionali della Meccanica ed equazioni di Eulero-Lagrange, dinamica e geodetiche, sistemi hamiltoniani, trasformazioni canoniche, equazione di Hamilton-Jacobi, problemi integrabili e teorema di Liouville-Arnold, introduzione alla teoria delle perturbazioni.
Istituzioni di analisi numerica (11 cfu)
- Polinomi ortogonali; approssimazione ai minimi quadrati e minimax; interpolazione spline; formule gaussiane di integrazione. Metodi alle differenze finite per equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico, parabolico e iperbolico.
- Polinomi ortogonali; approssimazione ai minimi quadrati e minimax; interpolazione spline; formule gaussiane di integrazione. Metodi alle differenze finite per equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico, parabolico e iperbolico.
A scelta dello studente (6 cfu)
- Qualsiasi insegnamento attivato nell'Ateneo, purché coerente con il progetto formativo. La coerenza delle attività scelte dallo studente con il progetto formativo deve essere approvata dal Consiglio di Corso di Studio, anche tenendo conto degli specifici interessi culturali e di sviluppo di carriera dello studente.
- Qualsiasi insegnamento attivato nell'Ateneo, purché coerente con il progetto formativo. La coerenza delle attività scelte dallo studente con il progetto formativo deve essere approvata dal Consiglio di Corso di Studio, anche tenendo conto degli specifici interessi culturali e di sviluppo di carriera dello studente.
Istituzioni di didattica della matematica (11 cfu)
- La conoscenza dei modelli teorici classici della ricerca internazionale in didattica della matematica. La conoscenza e l’analisi critica delle indicazioni per il curriculum di matematica nella scuola italiana. La conoscenza e l’analisi critica dei quadri teorici di riferimento delle agenzie nazionali ed internazionali di valutazione degli apprendimenti in matematica.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
Le metodologie per l'insegnamento sviluppate nella ricerca in didattica della matematica.
la progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
- La conoscenza dei modelli teorici classici della ricerca internazionale in didattica della matematica. La conoscenza e l’analisi critica delle indicazioni per il curriculum di matematica nella scuola italiana. La conoscenza e l’analisi critica dei quadri teorici di riferimento delle agenzie nazionali ed internazionali di valutazione degli apprendimenti in matematica.
6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt
- Moduli affini e integrativi
Coomologia Étale (6 cfu)
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
Metodi numerici per equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
Aspetti matematici nella computazione quantistica (6 cfu)
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
Combinatoria algebrica (6 cfu)
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
Analisi superiore A (6 cfu)
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
Geometria iperbolica (6 cfu)
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
Fondamenti della matematica (6 cfu)
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
Geometria algebrica B (6 cfu)
- Varietà complesse, metodi trascendenti
- Varietà complesse, metodi trascendenti
Analisi complessa A (6 cfu)
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
Geometria simplettica (6 cfu)
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
Determinazione orbitale (6 cfu)
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
Logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
Problemi di evoluzione (6 cfu)
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
Calcolo scientifico (6 cfu)
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
Elementi di analisi complessa (6 cfu)
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
Calcolo delle variazioni B (6 cfu)
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)
- Modelli finiti e complessità computazionale
- Modelli finiti e complessità computazionale
Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
Dinamica olomorfa (6 cfu)
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
Spazi simmetrici (6 cfu)
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
Teoria del controllo ottimo (6 cfu)
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
Funzioni speciali (6 cfu)
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
Geometria algebrica C (6 cfu)
- Curve e superfici di Riemann.
- Curve e superfici di Riemann.
Probabilità (6 cfu)
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
Onde lineari e non lineari (6 cfu)
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
Algebra lineare e multilineare (6 cfu)
- Strutture algebriche lineari.
- Strutture algebriche lineari.
Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
Geometria di contatto (6 cfu)
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
Problem solving (6 cfu)
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
Teoria dei giochi (6 cfu)
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
Complementi di analisi funzionale (6 cfu)
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
Algebra computazionale A (6 cfu)
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
Sistemi dinamici (6 cfu)
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
Statistica Superiore (6 cfu)
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
Geometria degli spazi metrici (6 cfu)
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
Analisi convessa (6 cfu)
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
Spazi di funzioni (6 cfu)
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
Topologia generale (6 cfu)
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
Probabilità superiore (6 cfu)
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
Geometria algebrica D (6 cfu)
- Tori complessi e varietà abeliane.
- Tori complessi e varietà abeliane.
Elementi di algebra computazionale (6 cfu)
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
Campi ciclotomici (6 cfu)
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
Analisi microlocale (6 cfu)
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
Elementi di geometria algebrica (6 cfu)
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
Algebra 2 (6 cfu)
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
4-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
Analisi matematica 3 (6 cfu)
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
Algebra 1 (6 cfu)
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
Teoria delle categorie (6 cfu)
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
Matematica per l’insegnamento alla scuola secondaria di primo grado B (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
Teoria dei nodi B (6 cfu)
- Invarianti non classici.
- Invarianti non classici.
Teoria dei semigruppi (6 cfu)
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
Ricerca operativa (6 cfu)
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
Analisi non standard (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
Analisi superiore B (6 cfu)
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Spazi di Sobolev (6 cfu)
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di topologia algebrica (6 cfu)
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
Tecnologie per la didattica (6 cfu)
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
Curve ellittiche (6 cfu)
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
Gruppi algebrici lineari (6 cfu)
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
Applicazioni della fluidodinamica alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
Applicazioni di equazioni differenziali alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
Teoria dei gruppi (6 cfu)
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
3-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
Fisica III (6 cfu)
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
Geometria algebrica E (6 cfu)
- Superfici algebriche.
- Superfici algebriche.
Teoria ergodica (6 cfu)
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
Teoria dei codici (6 cfu)
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
Teoria dei numeri elementare (6 cfu)
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
Geometria reale computazionale (6 cfu)
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
Topologia Algebrica A (6 cfu)
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
Superfici minime (6 cfu)
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
Analisi complessa B (6 cfu)
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
Teoria dei controlli (6 cfu)
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
Dinamica iperbolica (6 cfu)
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
Algebra omologica (6 cfu)
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
Analisi in spazi metrici (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
Topologia differenziale (6 cfu)
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
Equazioni ellittiche (6 cfu)
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
Meccanica celeste (6 cfu)
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
Elementi di meccanica celeste (6 cfu)
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
Storia della matematica (6 cfu)
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
Algebra computazionale B (6 cfu)
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
Complementi di fisica (6 cfu)
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
Statistica matematica (6 cfu)
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
Analisi reale (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
Meccanica spaziale (6 cfu)
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
Dinamica del sistema solare (6 cfu)
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
Processi stocastici (6 cfu)
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
Teoria dei nodi A (6 cfu)
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
Meccanica superiore (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
Geometria algebrica F (6 cfu)
- Varietà toriche.
- Varietà toriche.
Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
Finanza matematica (6 cfu)
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
Gruppi di Coxeter (6 cfu)
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
Teoria della misura (6 cfu)
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
Geometria reale B (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
Meccanica relativistica (6 cfu)
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
Meccanica razionale (6 cfu)
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
Metodi numerici per la grafica (6 cfu)
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
Crittografia post-quantistica (6 cfu)
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
Teoria algebrica dei numeri 3 (6 cfu)
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
Algebra non commutativa (6 cfu)
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
Metodi di approssimazione (6 cfu)
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
Forme modulari (6 cfu)
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
Teoria delle funzioni (6 cfu)
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
Elementi di logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
Teoria della dimostrazione (6 cfu)
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
Geometria reale A (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
Teoria della calcolabilità (6 cfu)
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
Geometria algebrica G (6 cfu)
- Varietà algebriche di dimensione alta
- Varietà algebriche di dimensione alta
Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
Teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
Analisi armonica (6 cfu)
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
Calcolo delle variazioni A (6 cfu)
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
Analisi geometrica (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
Geometria riemanniana (6 cfu)
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
Teoria dei modelli (6 cfu)
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
Metodi di analisi armonica in analisi non lineare (6 cfu)
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
Topologia Algebrica B (6 cfu)
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
Teoria degli insiemi A (6 cfu)
- Insiemi costruibili e forcing.
- Insiemi costruibili e forcing.
Teoria degli insiemi B (6 cfu)
- Grandi cardinali.
- Grandi cardinali.
Rappresentazioni di Galois p-adiche (6 cfu)
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
2-varietà (6 cfu)
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
Algebra superiore B (6 cfu)
- Algebre e loro rappresentazioni
- Algebre e loro rappresentazioni
Matematica per l'insegnamento alla scuola secondaria di primo grado A (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Geometria e topologia differenziale (6 cfu)
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
Geometria differenziale complessa (6 cfu)
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
Matematica discreta (6 cfu)
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
Algebra superiore A (6 cfu)
- Algebra commutativa.
- Algebra commutativa.
Sistemi dinamici discreti (6 cfu)
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
Fisica matematica (6 cfu)
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
Problemi e metodi in storia della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Metodi matematici della crittografia (6 cfu)
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
Analisi dei dati (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
Equazioni iperboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
Geometria reale C (6 cfu)
- Topologia delle curve e superfici reali.
- Topologia delle curve e superfici reali.
Equazioni paraboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
Geometria algebrica A (6 cfu)
- Schemi, fasci, coomologia.
- Schemi, fasci, coomologia.
Analisi non lineare (6 cfu)
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
Matematica e musica (6 cfu)
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
Complementi di didattica della matematica (6 cfu)
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
Meccanica dei continui (6 cfu)
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
Funzioni L (6 cfu)
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
Teorie in didattica della matematica (6 cfu)
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
11 cfu a scelta nel gruppo IstTeor
- Istituzioni teoriche
Istituzioni di geometria (11 cfu)
- Calcolo differenziale globale; coomologia di de Rham; connessioni e curvature; rudimenti di gruppi di Lie.
- Calcolo differenziale globale; coomologia di de Rham; connessioni e curvature; rudimenti di gruppi di Lie.
Istituzioni di analisi matematica (11 cfu)
- Spazi di Banach e Hilbert. Operatori lineari, completezza, convessità, dualità, teoria spettrale per operatori compatti su spazi di Hilbert ed applicazioni al problema di Sturm. Spazi di distribuzioni. Trasformata di Fourier di distribuzioni. Spazi di Sobolev, immersioni di Sobolev, compattezza e teorema di traccia.
- Spazi di Banach e Hilbert. Operatori lineari, completezza, convessità, dualità, teoria spettrale per operatori compatti su spazi di Hilbert ed applicazioni al problema di Sturm. Spazi di distribuzioni. Trasformata di Fourier di distribuzioni. Spazi di Sobolev, immersioni di Sobolev, compattezza e teorema di traccia.
Istituzioni di algebra (11 cfu)
- Localizzazione di anelli e moduli, anelli e moduli noetheriani ed artiniani, decomposizione primaria, estensioni intere, domini di Dedekind, valutazioni ed anelli di valutazione, completamenti, dimensione e polinomio di Hilbert. Algebra Omologica.
- Localizzazione di anelli e moduli, anelli e moduli noetheriani ed artiniani, decomposizione primaria, estensioni intere, domini di Dedekind, valutazioni ed anelli di valutazione, completamenti, dimensione e polinomio di Hilbert. Algebra Omologica.
6 cfu a scelta nel gruppo ModTeor
- Moduli teorici
Combinatoria algebrica (6 cfu)
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
Analisi superiore A (6 cfu)
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
Geometria iperbolica (6 cfu)
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
Geometria algebrica B (6 cfu)
- Varietà complesse, metodi trascendenti
- Varietà complesse, metodi trascendenti
Analisi complessa A (6 cfu)
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
Logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
Problemi di evoluzione (6 cfu)
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
Elementi di analisi complessa (6 cfu)
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
Dinamica olomorfa (6 cfu)
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
Geometria algebrica C (6 cfu)
- Curve e superfici di Riemann.
- Curve e superfici di Riemann.
Algebra computazionale A (6 cfu)
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
Analisi convessa (6 cfu)
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di algebra computazionale (6 cfu)
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
Elementi di geometria algebrica (6 cfu)
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
Algebra 2 (6 cfu)
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
Analisi matematica 3 (6 cfu)
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
Teoria dei nodi B (6 cfu)
- Invarianti non classici.
- Invarianti non classici.
Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
Analisi superiore B (6 cfu)
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
Spazi di Sobolev (6 cfu)
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di topologia algebrica (6 cfu)
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
3-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
Teoria dei numeri elementare (6 cfu)
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
Topologia Algebrica A (6 cfu)
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
Teoria dei controlli (6 cfu)
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
Topologia differenziale (6 cfu)
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
Equazioni ellittiche (6 cfu)
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
Algebra computazionale B (6 cfu)
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
Teoria dei nodi A (6 cfu)
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
Teoria della misura (6 cfu)
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
Geometria reale B (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
Geometria reale A (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
Analisi armonica (6 cfu)
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
Calcolo delle variazioni A (6 cfu)
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
Geometria riemanniana (6 cfu)
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
Teoria dei modelli (6 cfu)
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
Topologia Algebrica B (6 cfu)
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
Teoria degli insiemi A (6 cfu)
- Insiemi costruibili e forcing.
- Insiemi costruibili e forcing.
Teoria degli insiemi B (6 cfu)
- Grandi cardinali.
- Grandi cardinali.
Algebra superiore B (6 cfu)
- Algebre e loro rappresentazioni
- Algebre e loro rappresentazioni
Geometria e topologia differenziale (6 cfu)
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
Geometria differenziale complessa (6 cfu)
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
Algebra superiore A (6 cfu)
- Algebra commutativa.
- Algebra commutativa.
Equazioni iperboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
Geometria algebrica A (6 cfu)
- Schemi, fasci, coomologia.
- Schemi, fasci, coomologia.
Analisi non lineare (6 cfu)
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
6 cfu a scelta nel gruppo ModTeor
- Moduli teorici
Combinatoria algebrica (6 cfu)
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
Analisi superiore A (6 cfu)
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
Geometria iperbolica (6 cfu)
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
Geometria algebrica B (6 cfu)
- Varietà complesse, metodi trascendenti
- Varietà complesse, metodi trascendenti
Analisi complessa A (6 cfu)
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
Logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
Problemi di evoluzione (6 cfu)
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
Elementi di analisi complessa (6 cfu)
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
Dinamica olomorfa (6 cfu)
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
Geometria algebrica C (6 cfu)
- Curve e superfici di Riemann.
- Curve e superfici di Riemann.
Algebra computazionale A (6 cfu)
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
Analisi convessa (6 cfu)
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di algebra computazionale (6 cfu)
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
Elementi di geometria algebrica (6 cfu)
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
Algebra 2 (6 cfu)
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
Analisi matematica 3 (6 cfu)
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
Teoria dei nodi B (6 cfu)
- Invarianti non classici.
- Invarianti non classici.
Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
Analisi superiore B (6 cfu)
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
Spazi di Sobolev (6 cfu)
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di topologia algebrica (6 cfu)
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
3-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
Teoria dei numeri elementare (6 cfu)
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
Topologia Algebrica A (6 cfu)
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
Teoria dei controlli (6 cfu)
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
Topologia differenziale (6 cfu)
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
Equazioni ellittiche (6 cfu)
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
Algebra computazionale B (6 cfu)
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
Teoria dei nodi A (6 cfu)
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
Teoria della misura (6 cfu)
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
Geometria reale B (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
Geometria reale A (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
Analisi armonica (6 cfu)
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
Calcolo delle variazioni A (6 cfu)
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
Geometria riemanniana (6 cfu)
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
Teoria dei modelli (6 cfu)
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
Topologia Algebrica B (6 cfu)
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
Teoria degli insiemi A (6 cfu)
- Insiemi costruibili e forcing.
- Insiemi costruibili e forcing.
Teoria degli insiemi B (6 cfu)
- Grandi cardinali.
- Grandi cardinali.
Algebra superiore B (6 cfu)
- Algebre e loro rappresentazioni
- Algebre e loro rappresentazioni
Geometria e topologia differenziale (6 cfu)
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
Geometria differenziale complessa (6 cfu)
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
Algebra superiore A (6 cfu)
- Algebra commutativa.
- Algebra commutativa.
Equazioni iperboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
Geometria algebrica A (6 cfu)
- Schemi, fasci, coomologia.
- Schemi, fasci, coomologia.
Analisi non lineare (6 cfu)
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
6 cfu a scelta nel gruppo ModDidStor
- Moduli didattico-storici
Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
Tecnologie per la didattica (6 cfu)
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
Storia della matematica (6 cfu)
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
Problemi e metodi in storia della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Complementi di didattica della matematica (6 cfu)
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
Teorie in didattica della matematica (6 cfu)
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
6 cfu a scelta nel gruppo ModDidStor
- Moduli didattico-storici
Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
Tecnologie per la didattica (6 cfu)
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
Storia della matematica (6 cfu)
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
Problemi e metodi in storia della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Complementi di didattica della matematica (6 cfu)
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
Teorie in didattica della matematica (6 cfu)
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
Prova finale (27 cfu)
- La prova finale del corso di Laurea Magistrale in Matematica consiste nella stesura di una tesi (in italiano o in inglese) elaborata in modo originale dallo studente con l’assistenza di almeno un docente (relatore), eventualmente esterno al corso di studi, e in una esposizione orale conclusiva del lavoro svolto. La prova finale verrà valutata in base alla originalità dei risultati, alla padronanza dell’argomento, all’autonomia e alle capacità espositiva e di ricerca bibliografica mostrate dal candidato. La redazione della tesi può eventualmente avvenire anche all’interno di un tirocinio formativo (stage) presso aziende o laboratori esterni, o durante soggiorni di studio presso altre università italiane ed estere, anche nel quadro di accordi internazionali.
Alla prova finale sono attribuiti 27 CFU, di cui 1 CFU corrispondente a ulteriori attività formative utili per l’inserimento nel mondo del lavoro.
Nomina del controrelatore.
La tesi dev’essere esaminata anche da un controrelatore, che produrrà un parere da presentare in fase
di discussione finale. Se il relatore è esterno al dipartimento di Matematica dell’Università di Pisa, allora il controrelatore dev’essere scelto fra i docenti afferenti al dipartimento di Matematica dell’Università di Pisa. La nomina del controrelatore spetta al presidente di corso di laurea magistrale in Matematica, partendo (ma non necessariamente limitandosi a) uno o più nominativi che devono essere suggeriti dal relatore con almeno un mese d’anticipo sulla sessione di laurea in cui sarà discussa la tesi.
- La prova finale del corso di Laurea Magistrale in Matematica consiste nella stesura di una tesi (in italiano o in inglese) elaborata in modo originale dallo studente con l’assistenza di almeno un docente (relatore), eventualmente esterno al corso di studi, e in una esposizione orale conclusiva del lavoro svolto. La prova finale verrà valutata in base alla originalità dei risultati, alla padronanza dell’argomento, all’autonomia e alle capacità espositiva e di ricerca bibliografica mostrate dal candidato. La redazione della tesi può eventualmente avvenire anche all’interno di un tirocinio formativo (stage) presso aziende o laboratori esterni, o durante soggiorni di studio presso altre università italiane ed estere, anche nel quadro di accordi internazionali.
A scelta dello studente (6 cfu)
- Qualsiasi insegnamento attivato nell'Ateneo, purché coerente con il progetto formativo. La coerenza delle attività scelte dallo studente con il progetto formativo deve essere approvata dal Consiglio di Corso di Studio, anche tenendo conto degli specifici interessi culturali e di sviluppo di carriera dello studente.
- Qualsiasi insegnamento attivato nell'Ateneo, purché coerente con il progetto formativo. La coerenza delle attività scelte dallo studente con il progetto formativo deve essere approvata dal Consiglio di Corso di Studio, anche tenendo conto degli specifici interessi culturali e di sviluppo di carriera dello studente.
11 cfu a scelta nel gruppo IstAppTeor
- Istituzioni Applicative e Teoriche
Istituzioni di geometria (11 cfu)
- Calcolo differenziale globale; coomologia di de Rham; connessioni e curvature; rudimenti di gruppi di Lie.
- Calcolo differenziale globale; coomologia di de Rham; connessioni e curvature; rudimenti di gruppi di Lie.
Istituzioni di fisica matematica (11 cfu)
- Principi variazionali della Meccanica ed equazioni di Eulero-Lagrange, dinamica e geodetiche, sistemi hamiltoniani, trasformazioni canoniche, equazione di Hamilton-Jacobi, problemi integrabili e teorema di Liouville-Arnold, introduzione alla teoria delle perturbazioni.
- Principi variazionali della Meccanica ed equazioni di Eulero-Lagrange, dinamica e geodetiche, sistemi hamiltoniani, trasformazioni canoniche, equazione di Hamilton-Jacobi, problemi integrabili e teorema di Liouville-Arnold, introduzione alla teoria delle perturbazioni.
Istituzioni di analisi numerica (11 cfu)
- Polinomi ortogonali; approssimazione ai minimi quadrati e minimax; interpolazione spline; formule gaussiane di integrazione. Metodi alle differenze finite per equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico, parabolico e iperbolico.
- Polinomi ortogonali; approssimazione ai minimi quadrati e minimax; interpolazione spline; formule gaussiane di integrazione. Metodi alle differenze finite per equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico, parabolico e iperbolico.
Istituzioni di probabilità (11 cfu)
- Processi stocastici a tempi continui, processi di Markov: due esempi (processo di Wiener e processo di Poisson). Integrazione stocastica secondo Ito, formula di Ito e applicazioni. Equazioni differenziali stocastiche e legami con equazioni a derivate parziali. Alcune applicazioni (filtraggio e formule di Black-Scholes).
- Processi stocastici a tempi continui, processi di Markov: due esempi (processo di Wiener e processo di Poisson). Integrazione stocastica secondo Ito, formula di Ito e applicazioni. Equazioni differenziali stocastiche e legami con equazioni a derivate parziali. Alcune applicazioni (filtraggio e formule di Black-Scholes).
Istituzioni di analisi matematica (11 cfu)
- Spazi di Banach e Hilbert. Operatori lineari, completezza, convessità, dualità, teoria spettrale per operatori compatti su spazi di Hilbert ed applicazioni al problema di Sturm. Spazi di distribuzioni. Trasformata di Fourier di distribuzioni. Spazi di Sobolev, immersioni di Sobolev, compattezza e teorema di traccia.
- Spazi di Banach e Hilbert. Operatori lineari, completezza, convessità, dualità, teoria spettrale per operatori compatti su spazi di Hilbert ed applicazioni al problema di Sturm. Spazi di distribuzioni. Trasformata di Fourier di distribuzioni. Spazi di Sobolev, immersioni di Sobolev, compattezza e teorema di traccia.
Istituzioni di algebra (11 cfu)
- Localizzazione di anelli e moduli, anelli e moduli noetheriani ed artiniani, decomposizione primaria, estensioni intere, domini di Dedekind, valutazioni ed anelli di valutazione, completamenti, dimensione e polinomio di Hilbert. Algebra Omologica.
- Localizzazione di anelli e moduli, anelli e moduli noetheriani ed artiniani, decomposizione primaria, estensioni intere, domini di Dedekind, valutazioni ed anelli di valutazione, completamenti, dimensione e polinomio di Hilbert. Algebra Omologica.
6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt2
- Moduli affini e integrativi 2
Coomologia Étale (6 cfu)
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
Metodi numerici per equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
Aspetti matematici nella computazione quantistica (6 cfu)
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
Combinatoria algebrica (6 cfu)
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
Analisi superiore A (6 cfu)
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
Geometria iperbolica (6 cfu)
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
Fondamenti della matematica (6 cfu)
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
Geometria algebrica B (6 cfu)
- Varietà complesse, metodi trascendenti
- Varietà complesse, metodi trascendenti
Analisi complessa A (6 cfu)
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
Geometria simplettica (6 cfu)
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
Determinazione orbitale (6 cfu)
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
Logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
Problemi di evoluzione (6 cfu)
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
Calcolo scientifico (6 cfu)
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
Elementi di analisi complessa (6 cfu)
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
Calcolo delle variazioni B (6 cfu)
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)
- Modelli finiti e complessità computazionale
- Modelli finiti e complessità computazionale
Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
Dinamica olomorfa (6 cfu)
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
Spazi simmetrici (6 cfu)
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
Teoria del controllo ottimo (6 cfu)
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
Funzioni speciali (6 cfu)
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
Geometria algebrica C (6 cfu)
- Curve e superfici di Riemann.
- Curve e superfici di Riemann.
Probabilità (6 cfu)
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
Onde lineari e non lineari (6 cfu)
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
Algebra lineare e multilineare (6 cfu)
- Strutture algebriche lineari.
- Strutture algebriche lineari.
Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
Geometria di contatto (6 cfu)
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
Teoria dei giochi (6 cfu)
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
Complementi di analisi funzionale (6 cfu)
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
Algebra computazionale A (6 cfu)
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
Sistemi dinamici (6 cfu)
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
Statistica Superiore (6 cfu)
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
Geometria degli spazi metrici (6 cfu)
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
Analisi convessa (6 cfu)
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
Spazi di funzioni (6 cfu)
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
Topologia generale (6 cfu)
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
Probabilità superiore (6 cfu)
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
Geometria algebrica D (6 cfu)
- Tori complessi e varietà abeliane.
- Tori complessi e varietà abeliane.
Elementi di algebra computazionale (6 cfu)
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
Campi ciclotomici (6 cfu)
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
Analisi microlocale (6 cfu)
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
Elementi di geometria algebrica (6 cfu)
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
Algebra 2 (6 cfu)
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
4-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
Analisi matematica 3 (6 cfu)
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
Algebra 1 (6 cfu)
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
Teoria delle categorie (6 cfu)
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
Teoria dei nodi B (6 cfu)
- Invarianti non classici.
- Invarianti non classici.
Teoria dei semigruppi (6 cfu)
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
Ricerca operativa (6 cfu)
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
Analisi non standard (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
Analisi superiore B (6 cfu)
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
Spazi di Sobolev (6 cfu)
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di topologia algebrica (6 cfu)
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
Curve ellittiche (6 cfu)
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
Gruppi algebrici lineari (6 cfu)
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
Applicazioni della fluidodinamica alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
Applicazioni di equazioni differenziali alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
Teoria dei gruppi (6 cfu)
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
3-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
Fisica III (6 cfu)
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
Geometria algebrica E (6 cfu)
- Superfici algebriche.
- Superfici algebriche.
Teoria ergodica (6 cfu)
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
Teoria dei codici (6 cfu)
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
Teoria dei numeri elementare (6 cfu)
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
Geometria reale computazionale (6 cfu)
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
Topologia Algebrica A (6 cfu)
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
Superfici minime (6 cfu)
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
Analisi complessa B (6 cfu)
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
Teoria dei controlli (6 cfu)
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
Dinamica iperbolica (6 cfu)
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
Algebra omologica (6 cfu)
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
Analisi in spazi metrici (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
Topologia differenziale (6 cfu)
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
Equazioni ellittiche (6 cfu)
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
Meccanica celeste (6 cfu)
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
Elementi di meccanica celeste (6 cfu)
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
Algebra computazionale B (6 cfu)
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
Complementi di fisica (6 cfu)
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
Statistica matematica (6 cfu)
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
Analisi reale (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
Meccanica spaziale (6 cfu)
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
Dinamica del sistema solare (6 cfu)
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
Processi stocastici (6 cfu)
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
Teoria dei nodi A (6 cfu)
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
Meccanica superiore (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
Geometria algebrica F (6 cfu)
- Varietà toriche.
- Varietà toriche.
Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
Finanza matematica (6 cfu)
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
Gruppi di Coxeter (6 cfu)
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
Teoria della misura (6 cfu)
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
Geometria reale B (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
Meccanica relativistica (6 cfu)
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
Meccanica razionale (6 cfu)
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
Metodi numerici per la grafica (6 cfu)
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
Crittografia post-quantistica (6 cfu)
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
Teoria algebrica dei numeri 3 (6 cfu)
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
Algebra non commutativa (6 cfu)
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
Metodi di approssimazione (6 cfu)
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
Forme modulari (6 cfu)
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
Teoria delle funzioni (6 cfu)
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
Elementi di logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
Teoria della dimostrazione (6 cfu)
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
Geometria reale A (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
Teoria della calcolabilità (6 cfu)
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
Scrittura scientifica in lingua inglese – Teoria e pratica (6 cfu)
- Attraverso letture mirate ed esercitazioni in classe, lo studente sarà indirizzato al modo corretto di scrivere un articolo scientifico al fine di aumentarne le probabilità di pubblicazione.
- Attraverso letture mirate ed esercitazioni in classe, lo studente sarà indirizzato al modo corretto di scrivere un articolo scientifico al fine di aumentarne le probabilità di pubblicazione.
Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
Geometria algebrica G (6 cfu)
- Varietà algebriche di dimensione alta
- Varietà algebriche di dimensione alta
Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
Teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
Analisi armonica (6 cfu)
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
Calcolo delle variazioni A (6 cfu)
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
Analisi geometrica (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
Geometria riemanniana (6 cfu)
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
Teoria dei modelli (6 cfu)
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
Metodi di analisi armonica in analisi non lineare (6 cfu)
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
Topologia Algebrica B (6 cfu)
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
Teoria degli insiemi A (6 cfu)
- Insiemi costruibili e forcing.
- Insiemi costruibili e forcing.
Teoria degli insiemi B (6 cfu)
- Grandi cardinali.
- Grandi cardinali.
Rappresentazioni di Galois p-adiche (6 cfu)
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
2-varietà (6 cfu)
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
Algebra superiore B (6 cfu)
- Algebre e loro rappresentazioni
- Algebre e loro rappresentazioni
Geometria e topologia differenziale (6 cfu)
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
Geometria differenziale complessa (6 cfu)
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
Matematica discreta (6 cfu)
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
Algebra superiore A (6 cfu)
- Algebra commutativa.
- Algebra commutativa.
Sistemi dinamici discreti (6 cfu)
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
Fisica matematica (6 cfu)
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
Metodi matematici della crittografia (6 cfu)
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
Analisi dei dati (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
Equazioni iperboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
Geometria reale C (6 cfu)
- Topologia delle curve e superfici reali.
- Topologia delle curve e superfici reali.
Equazioni paraboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
Geometria algebrica A (6 cfu)
- Schemi, fasci, coomologia.
- Schemi, fasci, coomologia.
Analisi non lineare (6 cfu)
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
Matematica e musica (6 cfu)
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
Meccanica dei continui (6 cfu)
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
Funzioni L (6 cfu)
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt
- Moduli affini e integrativi
Coomologia Étale (6 cfu)
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
Metodi numerici per equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
Aspetti matematici nella computazione quantistica (6 cfu)
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
Combinatoria algebrica (6 cfu)
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
Analisi superiore A (6 cfu)
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
Geometria iperbolica (6 cfu)
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
Fondamenti della matematica (6 cfu)
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
Geometria algebrica B (6 cfu)
- Varietà complesse, metodi trascendenti
- Varietà complesse, metodi trascendenti
Analisi complessa A (6 cfu)
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
Geometria simplettica (6 cfu)
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
Determinazione orbitale (6 cfu)
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
Logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
Problemi di evoluzione (6 cfu)
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
Calcolo scientifico (6 cfu)
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
Elementi di analisi complessa (6 cfu)
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
Calcolo delle variazioni B (6 cfu)
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)
- Modelli finiti e complessità computazionale
- Modelli finiti e complessità computazionale
Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
Dinamica olomorfa (6 cfu)
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
Spazi simmetrici (6 cfu)
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
Teoria del controllo ottimo (6 cfu)
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
Funzioni speciali (6 cfu)
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
Geometria algebrica C (6 cfu)
- Curve e superfici di Riemann.
- Curve e superfici di Riemann.
Probabilità (6 cfu)
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
Onde lineari e non lineari (6 cfu)
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
Algebra lineare e multilineare (6 cfu)
- Strutture algebriche lineari.
- Strutture algebriche lineari.
Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
Geometria di contatto (6 cfu)
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
Problem solving (6 cfu)
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
Teoria dei giochi (6 cfu)
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
Complementi di analisi funzionale (6 cfu)
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
Algebra computazionale A (6 cfu)
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
Sistemi dinamici (6 cfu)
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
Statistica Superiore (6 cfu)
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
Geometria degli spazi metrici (6 cfu)
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
Analisi convessa (6 cfu)
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
Spazi di funzioni (6 cfu)
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
Topologia generale (6 cfu)
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
Probabilità superiore (6 cfu)
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
Geometria algebrica D (6 cfu)
- Tori complessi e varietà abeliane.
- Tori complessi e varietà abeliane.
Elementi di algebra computazionale (6 cfu)
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
Campi ciclotomici (6 cfu)
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
Analisi microlocale (6 cfu)
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
Elementi di geometria algebrica (6 cfu)
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
Algebra 2 (6 cfu)
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
4-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
Analisi matematica 3 (6 cfu)
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
Algebra 1 (6 cfu)
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
Teoria delle categorie (6 cfu)
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
Matematica per l’insegnamento alla scuola secondaria di primo grado B (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
Teoria dei nodi B (6 cfu)
- Invarianti non classici.
- Invarianti non classici.
Teoria dei semigruppi (6 cfu)
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
Ricerca operativa (6 cfu)
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
Analisi non standard (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
Analisi superiore B (6 cfu)
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Spazi di Sobolev (6 cfu)
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di topologia algebrica (6 cfu)
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
Tecnologie per la didattica (6 cfu)
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
Curve ellittiche (6 cfu)
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
Gruppi algebrici lineari (6 cfu)
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
Applicazioni della fluidodinamica alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
Applicazioni di equazioni differenziali alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
Teoria dei gruppi (6 cfu)
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
3-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
Fisica III (6 cfu)
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
Geometria algebrica E (6 cfu)
- Superfici algebriche.
- Superfici algebriche.
Teoria ergodica (6 cfu)
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
Teoria dei codici (6 cfu)
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
Teoria dei numeri elementare (6 cfu)
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
Geometria reale computazionale (6 cfu)
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
Topologia Algebrica A (6 cfu)
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
Superfici minime (6 cfu)
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
Analisi complessa B (6 cfu)
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
Teoria dei controlli (6 cfu)
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
Dinamica iperbolica (6 cfu)
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
Algebra omologica (6 cfu)
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
Analisi in spazi metrici (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
Topologia differenziale (6 cfu)
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
Equazioni ellittiche (6 cfu)
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
Meccanica celeste (6 cfu)
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
Elementi di meccanica celeste (6 cfu)
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
Storia della matematica (6 cfu)
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
Algebra computazionale B (6 cfu)
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
Complementi di fisica (6 cfu)
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
Statistica matematica (6 cfu)
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
Analisi reale (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
Meccanica spaziale (6 cfu)
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
Dinamica del sistema solare (6 cfu)
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
Processi stocastici (6 cfu)
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
Teoria dei nodi A (6 cfu)
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
Meccanica superiore (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
Geometria algebrica F (6 cfu)
- Varietà toriche.
- Varietà toriche.
Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
Finanza matematica (6 cfu)
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
Gruppi di Coxeter (6 cfu)
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
Teoria della misura (6 cfu)
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
Geometria reale B (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
Meccanica relativistica (6 cfu)
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
Meccanica razionale (6 cfu)
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
Metodi numerici per la grafica (6 cfu)
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
Crittografia post-quantistica (6 cfu)
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
Teoria algebrica dei numeri 3 (6 cfu)
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
Algebra non commutativa (6 cfu)
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
Metodi di approssimazione (6 cfu)
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
Forme modulari (6 cfu)
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
Teoria delle funzioni (6 cfu)
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
Elementi di logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
Teoria della dimostrazione (6 cfu)
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
Geometria reale A (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
Teoria della calcolabilità (6 cfu)
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
Geometria algebrica G (6 cfu)
- Varietà algebriche di dimensione alta
- Varietà algebriche di dimensione alta
Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
Teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
Analisi armonica (6 cfu)
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
Calcolo delle variazioni A (6 cfu)
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
Analisi geometrica (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
Geometria riemanniana (6 cfu)
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
Teoria dei modelli (6 cfu)
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
Metodi di analisi armonica in analisi non lineare (6 cfu)
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
Topologia Algebrica B (6 cfu)
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
Teoria degli insiemi A (6 cfu)
- Insiemi costruibili e forcing.
- Insiemi costruibili e forcing.
Teoria degli insiemi B (6 cfu)
- Grandi cardinali.
- Grandi cardinali.
Rappresentazioni di Galois p-adiche (6 cfu)
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
2-varietà (6 cfu)
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
Algebra superiore B (6 cfu)
- Algebre e loro rappresentazioni
- Algebre e loro rappresentazioni
Matematica per l'insegnamento alla scuola secondaria di primo grado A (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Geometria e topologia differenziale (6 cfu)
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
Geometria differenziale complessa (6 cfu)
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
Matematica discreta (6 cfu)
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
Algebra superiore A (6 cfu)
- Algebra commutativa.
- Algebra commutativa.
Sistemi dinamici discreti (6 cfu)
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
Fisica matematica (6 cfu)
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
Problemi e metodi in storia della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Metodi matematici della crittografia (6 cfu)
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
Analisi dei dati (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
Equazioni iperboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
Geometria reale C (6 cfu)
- Topologia delle curve e superfici reali.
- Topologia delle curve e superfici reali.
Equazioni paraboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
Geometria algebrica A (6 cfu)
- Schemi, fasci, coomologia.
- Schemi, fasci, coomologia.
Analisi non lineare (6 cfu)
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
Matematica e musica (6 cfu)
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
Complementi di didattica della matematica (6 cfu)
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
Meccanica dei continui (6 cfu)
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
Funzioni L (6 cfu)
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
Teorie in didattica della matematica (6 cfu)
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt
- Moduli affini e integrativi
Coomologia Étale (6 cfu)
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
Metodi numerici per equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
Aspetti matematici nella computazione quantistica (6 cfu)
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
Combinatoria algebrica (6 cfu)
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
Analisi superiore A (6 cfu)
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
Geometria iperbolica (6 cfu)
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
Fondamenti della matematica (6 cfu)
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
Geometria algebrica B (6 cfu)
- Varietà complesse, metodi trascendenti
- Varietà complesse, metodi trascendenti
Analisi complessa A (6 cfu)
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
Geometria simplettica (6 cfu)
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
Determinazione orbitale (6 cfu)
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
Logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
Problemi di evoluzione (6 cfu)
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
Calcolo scientifico (6 cfu)
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
Elementi di analisi complessa (6 cfu)
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
Calcolo delle variazioni B (6 cfu)
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)
- Modelli finiti e complessità computazionale
- Modelli finiti e complessità computazionale
Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
Dinamica olomorfa (6 cfu)
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
Spazi simmetrici (6 cfu)
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
Teoria del controllo ottimo (6 cfu)
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
Funzioni speciali (6 cfu)
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
Geometria algebrica C (6 cfu)
- Curve e superfici di Riemann.
- Curve e superfici di Riemann.
Probabilità (6 cfu)
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
Onde lineari e non lineari (6 cfu)
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
Algebra lineare e multilineare (6 cfu)
- Strutture algebriche lineari.
- Strutture algebriche lineari.
Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
Geometria di contatto (6 cfu)
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
Problem solving (6 cfu)
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
Teoria dei giochi (6 cfu)
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
Complementi di analisi funzionale (6 cfu)
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
Algebra computazionale A (6 cfu)
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
Sistemi dinamici (6 cfu)
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
Statistica Superiore (6 cfu)
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
Geometria degli spazi metrici (6 cfu)
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
Analisi convessa (6 cfu)
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
Spazi di funzioni (6 cfu)
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
Topologia generale (6 cfu)
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
Probabilità superiore (6 cfu)
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
Geometria algebrica D (6 cfu)
- Tori complessi e varietà abeliane.
- Tori complessi e varietà abeliane.
Elementi di algebra computazionale (6 cfu)
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
Campi ciclotomici (6 cfu)
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
Analisi microlocale (6 cfu)
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
Elementi di geometria algebrica (6 cfu)
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
Algebra 2 (6 cfu)
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
4-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
Analisi matematica 3 (6 cfu)
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
Algebra 1 (6 cfu)
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
Teoria delle categorie (6 cfu)
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
Matematica per l’insegnamento alla scuola secondaria di primo grado B (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
Teoria dei nodi B (6 cfu)
- Invarianti non classici.
- Invarianti non classici.
Teoria dei semigruppi (6 cfu)
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
Ricerca operativa (6 cfu)
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
Analisi non standard (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
Analisi superiore B (6 cfu)
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Spazi di Sobolev (6 cfu)
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di topologia algebrica (6 cfu)
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
Tecnologie per la didattica (6 cfu)
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
Curve ellittiche (6 cfu)
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
Gruppi algebrici lineari (6 cfu)
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
Applicazioni della fluidodinamica alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
Applicazioni di equazioni differenziali alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
Teoria dei gruppi (6 cfu)
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
3-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
Fisica III (6 cfu)
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
Geometria algebrica E (6 cfu)
- Superfici algebriche.
- Superfici algebriche.
Teoria ergodica (6 cfu)
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
Teoria dei codici (6 cfu)
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
Teoria dei numeri elementare (6 cfu)
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
Geometria reale computazionale (6 cfu)
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
Topologia Algebrica A (6 cfu)
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
Superfici minime (6 cfu)
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
Analisi complessa B (6 cfu)
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
Teoria dei controlli (6 cfu)
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
Dinamica iperbolica (6 cfu)
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
Algebra omologica (6 cfu)
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
Analisi in spazi metrici (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
Topologia differenziale (6 cfu)
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
Equazioni ellittiche (6 cfu)
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
Meccanica celeste (6 cfu)
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
Elementi di meccanica celeste (6 cfu)
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
Storia della matematica (6 cfu)
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
Algebra computazionale B (6 cfu)
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
Complementi di fisica (6 cfu)
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
Statistica matematica (6 cfu)
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
Analisi reale (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
Meccanica spaziale (6 cfu)
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
Dinamica del sistema solare (6 cfu)
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
Processi stocastici (6 cfu)
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
Teoria dei nodi A (6 cfu)
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
Meccanica superiore (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
Geometria algebrica F (6 cfu)
- Varietà toriche.
- Varietà toriche.
Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
Finanza matematica (6 cfu)
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
Gruppi di Coxeter (6 cfu)
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
Teoria della misura (6 cfu)
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
Geometria reale B (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
Meccanica relativistica (6 cfu)
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
Meccanica razionale (6 cfu)
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
Metodi numerici per la grafica (6 cfu)
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
Crittografia post-quantistica (6 cfu)
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
Teoria algebrica dei numeri 3 (6 cfu)
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
Algebra non commutativa (6 cfu)
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
Metodi di approssimazione (6 cfu)
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
Forme modulari (6 cfu)
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
Teoria delle funzioni (6 cfu)
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
Elementi di logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
Teoria della dimostrazione (6 cfu)
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
Geometria reale A (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
Teoria della calcolabilità (6 cfu)
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
Geometria algebrica G (6 cfu)
- Varietà algebriche di dimensione alta
- Varietà algebriche di dimensione alta
Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
Teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
Analisi armonica (6 cfu)
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
Calcolo delle variazioni A (6 cfu)
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
Analisi geometrica (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
Geometria riemanniana (6 cfu)
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
Teoria dei modelli (6 cfu)
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
Metodi di analisi armonica in analisi non lineare (6 cfu)
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
Topologia Algebrica B (6 cfu)
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
Teoria degli insiemi A (6 cfu)
- Insiemi costruibili e forcing.
- Insiemi costruibili e forcing.
Teoria degli insiemi B (6 cfu)
- Grandi cardinali.
- Grandi cardinali.
Rappresentazioni di Galois p-adiche (6 cfu)
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
2-varietà (6 cfu)
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
Algebra superiore B (6 cfu)
- Algebre e loro rappresentazioni
- Algebre e loro rappresentazioni
Matematica per l'insegnamento alla scuola secondaria di primo grado A (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Geometria e topologia differenziale (6 cfu)
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
Geometria differenziale complessa (6 cfu)
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
Matematica discreta (6 cfu)
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
Algebra superiore A (6 cfu)
- Algebra commutativa.
- Algebra commutativa.
Sistemi dinamici discreti (6 cfu)
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
Fisica matematica (6 cfu)
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
Problemi e metodi in storia della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Metodi matematici della crittografia (6 cfu)
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
Analisi dei dati (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
Equazioni iperboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
Geometria reale C (6 cfu)
- Topologia delle curve e superfici reali.
- Topologia delle curve e superfici reali.
Equazioni paraboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
Geometria algebrica A (6 cfu)
- Schemi, fasci, coomologia.
- Schemi, fasci, coomologia.
Analisi non lineare (6 cfu)
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
Matematica e musica (6 cfu)
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
Complementi di didattica della matematica (6 cfu)
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
Meccanica dei continui (6 cfu)
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
Funzioni L (6 cfu)
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
Teorie in didattica della matematica (6 cfu)
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
Istituzioni di fisica matematica (11 cfu)
- Principi variazionali della Meccanica ed equazioni di Eulero-Lagrange, dinamica e geodetiche, sistemi hamiltoniani, trasformazioni canoniche, equazione di Hamilton-Jacobi, problemi integrabili e teorema di Liouville-Arnold, introduzione alla teoria delle perturbazioni.
- Principi variazionali della Meccanica ed equazioni di Eulero-Lagrange, dinamica e geodetiche, sistemi hamiltoniani, trasformazioni canoniche, equazione di Hamilton-Jacobi, problemi integrabili e teorema di Liouville-Arnold, introduzione alla teoria delle perturbazioni.
Istituzioni di analisi numerica (11 cfu)
- Polinomi ortogonali; approssimazione ai minimi quadrati e minimax; interpolazione spline; formule gaussiane di integrazione. Metodi alle differenze finite per equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico, parabolico e iperbolico.
- Polinomi ortogonali; approssimazione ai minimi quadrati e minimax; interpolazione spline; formule gaussiane di integrazione. Metodi alle differenze finite per equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico, parabolico e iperbolico.
A scelta dello studente (6 cfu)
- Qualsiasi insegnamento attivato nell'Ateneo, purché coerente con il progetto formativo. La coerenza delle attività scelte dallo studente con il progetto formativo deve essere approvata dal Consiglio di Corso di Studio, anche tenendo conto degli specifici interessi culturali e di sviluppo di carriera dello studente.
- Qualsiasi insegnamento attivato nell'Ateneo, purché coerente con il progetto formativo. La coerenza delle attività scelte dallo studente con il progetto formativo deve essere approvata dal Consiglio di Corso di Studio, anche tenendo conto degli specifici interessi culturali e di sviluppo di carriera dello studente.
6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt
- Moduli affini e integrativi
Coomologia Étale (6 cfu)
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
Metodi numerici per equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
Aspetti matematici nella computazione quantistica (6 cfu)
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
Combinatoria algebrica (6 cfu)
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
Analisi superiore A (6 cfu)
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
Geometria iperbolica (6 cfu)
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
Fondamenti della matematica (6 cfu)
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
Geometria algebrica B (6 cfu)
- Varietà complesse, metodi trascendenti
- Varietà complesse, metodi trascendenti
Analisi complessa A (6 cfu)
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
Geometria simplettica (6 cfu)
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
Determinazione orbitale (6 cfu)
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
Logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
Problemi di evoluzione (6 cfu)
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
Calcolo scientifico (6 cfu)
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
Elementi di analisi complessa (6 cfu)
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
Calcolo delle variazioni B (6 cfu)
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)
- Modelli finiti e complessità computazionale
- Modelli finiti e complessità computazionale
Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
Dinamica olomorfa (6 cfu)
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
Spazi simmetrici (6 cfu)
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
Teoria del controllo ottimo (6 cfu)
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
Funzioni speciali (6 cfu)
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
Geometria algebrica C (6 cfu)
- Curve e superfici di Riemann.
- Curve e superfici di Riemann.
Probabilità (6 cfu)
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
Onde lineari e non lineari (6 cfu)
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
Algebra lineare e multilineare (6 cfu)
- Strutture algebriche lineari.
- Strutture algebriche lineari.
Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
Geometria di contatto (6 cfu)
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
Problem solving (6 cfu)
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
Teoria dei giochi (6 cfu)
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
Complementi di analisi funzionale (6 cfu)
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
Algebra computazionale A (6 cfu)
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
Sistemi dinamici (6 cfu)
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
Statistica Superiore (6 cfu)
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
Geometria degli spazi metrici (6 cfu)
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
Analisi convessa (6 cfu)
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
Spazi di funzioni (6 cfu)
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
Topologia generale (6 cfu)
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
Probabilità superiore (6 cfu)
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
Geometria algebrica D (6 cfu)
- Tori complessi e varietà abeliane.
- Tori complessi e varietà abeliane.
Elementi di algebra computazionale (6 cfu)
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
Campi ciclotomici (6 cfu)
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
Analisi microlocale (6 cfu)
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
Elementi di geometria algebrica (6 cfu)
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
Algebra 2 (6 cfu)
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
4-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
Analisi matematica 3 (6 cfu)
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
Algebra 1 (6 cfu)
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
Teoria delle categorie (6 cfu)
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
Matematica per l’insegnamento alla scuola secondaria di primo grado B (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
Teoria dei nodi B (6 cfu)
- Invarianti non classici.
- Invarianti non classici.
Teoria dei semigruppi (6 cfu)
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
Ricerca operativa (6 cfu)
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
Analisi non standard (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
Analisi superiore B (6 cfu)
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Spazi di Sobolev (6 cfu)
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di topologia algebrica (6 cfu)
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
Tecnologie per la didattica (6 cfu)
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
Curve ellittiche (6 cfu)
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
Gruppi algebrici lineari (6 cfu)
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
Applicazioni della fluidodinamica alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
Applicazioni di equazioni differenziali alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
Teoria dei gruppi (6 cfu)
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
3-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
Fisica III (6 cfu)
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
Geometria algebrica E (6 cfu)
- Superfici algebriche.
- Superfici algebriche.
Teoria ergodica (6 cfu)
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
Teoria dei codici (6 cfu)
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
Teoria dei numeri elementare (6 cfu)
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
Geometria reale computazionale (6 cfu)
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
Topologia Algebrica A (6 cfu)
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
Superfici minime (6 cfu)
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
Analisi complessa B (6 cfu)
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
Teoria dei controlli (6 cfu)
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
Dinamica iperbolica (6 cfu)
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
Algebra omologica (6 cfu)
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
Analisi in spazi metrici (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
Topologia differenziale (6 cfu)
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
Equazioni ellittiche (6 cfu)
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
Meccanica celeste (6 cfu)
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
Elementi di meccanica celeste (6 cfu)
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
Storia della matematica (6 cfu)
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
Algebra computazionale B (6 cfu)
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
Complementi di fisica (6 cfu)
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
Statistica matematica (6 cfu)
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
Analisi reale (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
Meccanica spaziale (6 cfu)
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
Dinamica del sistema solare (6 cfu)
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
Processi stocastici (6 cfu)
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
Teoria dei nodi A (6 cfu)
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
Meccanica superiore (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
Geometria algebrica F (6 cfu)
- Varietà toriche.
- Varietà toriche.
Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
Finanza matematica (6 cfu)
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
Gruppi di Coxeter (6 cfu)
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
Teoria della misura (6 cfu)
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
Geometria reale B (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
Meccanica relativistica (6 cfu)
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
Meccanica razionale (6 cfu)
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
Metodi numerici per la grafica (6 cfu)
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
Crittografia post-quantistica (6 cfu)
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
Teoria algebrica dei numeri 3 (6 cfu)
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
Algebra non commutativa (6 cfu)
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
Metodi di approssimazione (6 cfu)
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
Forme modulari (6 cfu)
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
Teoria delle funzioni (6 cfu)
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
Elementi di logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
Teoria della dimostrazione (6 cfu)
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
Geometria reale A (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
Teoria della calcolabilità (6 cfu)
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
Geometria algebrica G (6 cfu)
- Varietà algebriche di dimensione alta
- Varietà algebriche di dimensione alta
Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
Teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
Analisi armonica (6 cfu)
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
Calcolo delle variazioni A (6 cfu)
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
Analisi geometrica (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
Geometria riemanniana (6 cfu)
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
Teoria dei modelli (6 cfu)
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
Metodi di analisi armonica in analisi non lineare (6 cfu)
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
Topologia Algebrica B (6 cfu)
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
Teoria degli insiemi A (6 cfu)
- Insiemi costruibili e forcing.
- Insiemi costruibili e forcing.
Teoria degli insiemi B (6 cfu)
- Grandi cardinali.
- Grandi cardinali.
Rappresentazioni di Galois p-adiche (6 cfu)
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
2-varietà (6 cfu)
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
Algebra superiore B (6 cfu)
- Algebre e loro rappresentazioni
- Algebre e loro rappresentazioni
Matematica per l'insegnamento alla scuola secondaria di primo grado A (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Geometria e topologia differenziale (6 cfu)
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
Geometria differenziale complessa (6 cfu)
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
Matematica discreta (6 cfu)
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
Algebra superiore A (6 cfu)
- Algebra commutativa.
- Algebra commutativa.
Sistemi dinamici discreti (6 cfu)
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
Fisica matematica (6 cfu)
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
Problemi e metodi in storia della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Metodi matematici della crittografia (6 cfu)
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
Analisi dei dati (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
Equazioni iperboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
Geometria reale C (6 cfu)
- Topologia delle curve e superfici reali.
- Topologia delle curve e superfici reali.
Equazioni paraboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
Geometria algebrica A (6 cfu)
- Schemi, fasci, coomologia.
- Schemi, fasci, coomologia.
Analisi non lineare (6 cfu)
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
Matematica e musica (6 cfu)
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
Complementi di didattica della matematica (6 cfu)
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
Meccanica dei continui (6 cfu)
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
Funzioni L (6 cfu)
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
Teorie in didattica della matematica (6 cfu)
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
6 cfu a scelta nel gruppo ModAppl
- Moduli applicativi
Metodi numerici per equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
Aspetti matematici nella computazione quantistica (6 cfu)
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
Determinazione orbitale (6 cfu)
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
Calcolo scientifico (6 cfu)
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
Probabilità (6 cfu)
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
Teoria dei giochi (6 cfu)
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
Sistemi dinamici (6 cfu)
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
Statistica Superiore (6 cfu)
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
Ricerca operativa (6 cfu)
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
Meccanica celeste (6 cfu)
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
Elementi di meccanica celeste (6 cfu)
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
Statistica matematica (6 cfu)
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
Meccanica spaziale (6 cfu)
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
Dinamica del sistema solare (6 cfu)
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
Meccanica superiore (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
Meccanica razionale (6 cfu)
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
Metodi numerici per la grafica (6 cfu)
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
Metodi di approssimazione (6 cfu)
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
Fisica matematica (6 cfu)
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
Analisi dei dati (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
6 cfu a scelta nel gruppo ModAppl
- Moduli applicativi
Metodi numerici per equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
Aspetti matematici nella computazione quantistica (6 cfu)
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
Determinazione orbitale (6 cfu)
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
Calcolo scientifico (6 cfu)
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
Probabilità (6 cfu)
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
Teoria dei giochi (6 cfu)
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
Sistemi dinamici (6 cfu)
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
Statistica Superiore (6 cfu)
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
Ricerca operativa (6 cfu)
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
Meccanica celeste (6 cfu)
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
Elementi di meccanica celeste (6 cfu)
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
Statistica matematica (6 cfu)
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
Meccanica spaziale (6 cfu)
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
Dinamica del sistema solare (6 cfu)
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
Meccanica superiore (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
Meccanica razionale (6 cfu)
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
Metodi numerici per la grafica (6 cfu)
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
Metodi di approssimazione (6 cfu)
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
Fisica matematica (6 cfu)
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
Analisi dei dati (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
6 cfu a scelta nel gruppo ModTeor
- Moduli teorici
Combinatoria algebrica (6 cfu)
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
Analisi superiore A (6 cfu)
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
Geometria iperbolica (6 cfu)
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
Geometria algebrica B (6 cfu)
- Varietà complesse, metodi trascendenti
- Varietà complesse, metodi trascendenti
Analisi complessa A (6 cfu)
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
Logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
Problemi di evoluzione (6 cfu)
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
Elementi di analisi complessa (6 cfu)
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
Dinamica olomorfa (6 cfu)
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
Geometria algebrica C (6 cfu)
- Curve e superfici di Riemann.
- Curve e superfici di Riemann.
Algebra computazionale A (6 cfu)
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
Analisi convessa (6 cfu)
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di algebra computazionale (6 cfu)
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
Elementi di geometria algebrica (6 cfu)
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
Algebra 2 (6 cfu)
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
Analisi matematica 3 (6 cfu)
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
Teoria dei nodi B (6 cfu)
- Invarianti non classici.
- Invarianti non classici.
Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
Analisi superiore B (6 cfu)
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
Spazi di Sobolev (6 cfu)
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di topologia algebrica (6 cfu)
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
3-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
Teoria dei numeri elementare (6 cfu)
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
Topologia Algebrica A (6 cfu)
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
Teoria dei controlli (6 cfu)
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
Topologia differenziale (6 cfu)
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
Equazioni ellittiche (6 cfu)
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
Algebra computazionale B (6 cfu)
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
Teoria dei nodi A (6 cfu)
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
Teoria della misura (6 cfu)
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
Geometria reale B (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
Geometria reale A (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
Analisi armonica (6 cfu)
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
Calcolo delle variazioni A (6 cfu)
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
Geometria riemanniana (6 cfu)
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
Teoria dei modelli (6 cfu)
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
Topologia Algebrica B (6 cfu)
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
Teoria degli insiemi A (6 cfu)
- Insiemi costruibili e forcing.
- Insiemi costruibili e forcing.
Teoria degli insiemi B (6 cfu)
- Grandi cardinali.
- Grandi cardinali.
Algebra superiore B (6 cfu)
- Algebre e loro rappresentazioni
- Algebre e loro rappresentazioni
Geometria e topologia differenziale (6 cfu)
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
Geometria differenziale complessa (6 cfu)
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
Algebra superiore A (6 cfu)
- Algebra commutativa.
- Algebra commutativa.
Equazioni iperboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
Geometria algebrica A (6 cfu)
- Schemi, fasci, coomologia.
- Schemi, fasci, coomologia.
Analisi non lineare (6 cfu)
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
6 cfu a scelta nel gruppo ModTeor
- Moduli teorici
Combinatoria algebrica (6 cfu)
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
Analisi superiore A (6 cfu)
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
Geometria iperbolica (6 cfu)
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
Geometria algebrica B (6 cfu)
- Varietà complesse, metodi trascendenti
- Varietà complesse, metodi trascendenti
Analisi complessa A (6 cfu)
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
Logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
Problemi di evoluzione (6 cfu)
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
Elementi di analisi complessa (6 cfu)
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
Dinamica olomorfa (6 cfu)
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
Geometria algebrica C (6 cfu)
- Curve e superfici di Riemann.
- Curve e superfici di Riemann.
Algebra computazionale A (6 cfu)
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
Analisi convessa (6 cfu)
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di algebra computazionale (6 cfu)
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
Elementi di geometria algebrica (6 cfu)
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
Algebra 2 (6 cfu)
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
Analisi matematica 3 (6 cfu)
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
Teoria dei nodi B (6 cfu)
- Invarianti non classici.
- Invarianti non classici.
Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
Analisi superiore B (6 cfu)
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
Spazi di Sobolev (6 cfu)
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di topologia algebrica (6 cfu)
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
3-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
Teoria dei numeri elementare (6 cfu)
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
Topologia Algebrica A (6 cfu)
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
Teoria dei controlli (6 cfu)
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
Topologia differenziale (6 cfu)
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
Equazioni ellittiche (6 cfu)
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
Algebra computazionale B (6 cfu)
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
Teoria dei nodi A (6 cfu)
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
Teoria della misura (6 cfu)
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
Geometria reale B (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
Geometria reale A (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
Analisi armonica (6 cfu)
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
Calcolo delle variazioni A (6 cfu)
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
Geometria riemanniana (6 cfu)
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
Teoria dei modelli (6 cfu)
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
Topologia Algebrica B (6 cfu)
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
Teoria degli insiemi A (6 cfu)
- Insiemi costruibili e forcing.
- Insiemi costruibili e forcing.
Teoria degli insiemi B (6 cfu)
- Grandi cardinali.
- Grandi cardinali.
Algebra superiore B (6 cfu)
- Algebre e loro rappresentazioni
- Algebre e loro rappresentazioni
Geometria e topologia differenziale (6 cfu)
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
Geometria differenziale complessa (6 cfu)
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
Algebra superiore A (6 cfu)
- Algebra commutativa.
- Algebra commutativa.
Equazioni iperboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
Geometria algebrica A (6 cfu)
- Schemi, fasci, coomologia.
- Schemi, fasci, coomologia.
Analisi non lineare (6 cfu)
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
Prova finale (27 cfu)
- La prova finale del corso di Laurea Magistrale in Matematica consiste nella stesura di una tesi (in italiano o in inglese) elaborata in modo originale dallo studente con l’assistenza di almeno un docente (relatore), eventualmente esterno al corso di studi, e in una esposizione orale conclusiva del lavoro svolto. La prova finale verrà valutata in base alla originalità dei risultati, alla padronanza dell’argomento, all’autonomia e alle capacità espositiva e di ricerca bibliografica mostrate dal candidato. La redazione della tesi può eventualmente avvenire anche all’interno di un tirocinio formativo (stage) presso aziende o laboratori esterni, o durante soggiorni di studio presso altre università italiane ed estere, anche nel quadro di accordi internazionali.
Alla prova finale sono attribuiti 27 CFU, di cui 1 CFU corrispondente a ulteriori attività formative utili per l’inserimento nel mondo del lavoro.
Nomina del controrelatore.
La tesi dev’essere esaminata anche da un controrelatore, che produrrà un parere da presentare in fase
di discussione finale. Se il relatore è esterno al dipartimento di Matematica dell’Università di Pisa, allora il controrelatore dev’essere scelto fra i docenti afferenti al dipartimento di Matematica dell’Università di Pisa. La nomina del controrelatore spetta al presidente di corso di laurea magistrale in Matematica, partendo (ma non necessariamente limitandosi a) uno o più nominativi che devono essere suggeriti dal relatore con almeno un mese d’anticipo sulla sessione di laurea in cui sarà discussa la tesi.
- La prova finale del corso di Laurea Magistrale in Matematica consiste nella stesura di una tesi (in italiano o in inglese) elaborata in modo originale dallo studente con l’assistenza di almeno un docente (relatore), eventualmente esterno al corso di studi, e in una esposizione orale conclusiva del lavoro svolto. La prova finale verrà valutata in base alla originalità dei risultati, alla padronanza dell’argomento, all’autonomia e alle capacità espositiva e di ricerca bibliografica mostrate dal candidato. La redazione della tesi può eventualmente avvenire anche all’interno di un tirocinio formativo (stage) presso aziende o laboratori esterni, o durante soggiorni di studio presso altre università italiane ed estere, anche nel quadro di accordi internazionali.
A scelta dello studente (6 cfu)
- Qualsiasi insegnamento attivato nell'Ateneo, purché coerente con il progetto formativo. La coerenza delle attività scelte dallo studente con il progetto formativo deve essere approvata dal Consiglio di Corso di Studio, anche tenendo conto degli specifici interessi culturali e di sviluppo di carriera dello studente.
- Qualsiasi insegnamento attivato nell'Ateneo, purché coerente con il progetto formativo. La coerenza delle attività scelte dallo studente con il progetto formativo deve essere approvata dal Consiglio di Corso di Studio, anche tenendo conto degli specifici interessi culturali e di sviluppo di carriera dello studente.
6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt
- Moduli affini e integrativi
Coomologia Étale (6 cfu)
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
Metodi numerici per equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
Aspetti matematici nella computazione quantistica (6 cfu)
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
Combinatoria algebrica (6 cfu)
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
Analisi superiore A (6 cfu)
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
Geometria iperbolica (6 cfu)
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
Fondamenti della matematica (6 cfu)
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
Geometria algebrica B (6 cfu)
- Varietà complesse, metodi trascendenti
- Varietà complesse, metodi trascendenti
Analisi complessa A (6 cfu)
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
Geometria simplettica (6 cfu)
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
Determinazione orbitale (6 cfu)
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
Logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
Problemi di evoluzione (6 cfu)
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
Calcolo scientifico (6 cfu)
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
Elementi di analisi complessa (6 cfu)
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
Calcolo delle variazioni B (6 cfu)
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)
- Modelli finiti e complessità computazionale
- Modelli finiti e complessità computazionale
Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
Dinamica olomorfa (6 cfu)
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
Spazi simmetrici (6 cfu)
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
Teoria del controllo ottimo (6 cfu)
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
Funzioni speciali (6 cfu)
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
Geometria algebrica C (6 cfu)
- Curve e superfici di Riemann.
- Curve e superfici di Riemann.
Probabilità (6 cfu)
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
Onde lineari e non lineari (6 cfu)
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
Algebra lineare e multilineare (6 cfu)
- Strutture algebriche lineari.
- Strutture algebriche lineari.
Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
Geometria di contatto (6 cfu)
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
Problem solving (6 cfu)
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
Teoria dei giochi (6 cfu)
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
Complementi di analisi funzionale (6 cfu)
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
Algebra computazionale A (6 cfu)
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
Sistemi dinamici (6 cfu)
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
Statistica Superiore (6 cfu)
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
Geometria degli spazi metrici (6 cfu)
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
Analisi convessa (6 cfu)
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
Spazi di funzioni (6 cfu)
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
Topologia generale (6 cfu)
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
Probabilità superiore (6 cfu)
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
Geometria algebrica D (6 cfu)
- Tori complessi e varietà abeliane.
- Tori complessi e varietà abeliane.
Elementi di algebra computazionale (6 cfu)
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
Campi ciclotomici (6 cfu)
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
Analisi microlocale (6 cfu)
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
Elementi di geometria algebrica (6 cfu)
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
Algebra 2 (6 cfu)
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
4-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
Analisi matematica 3 (6 cfu)
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
Algebra 1 (6 cfu)
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
Teoria delle categorie (6 cfu)
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
Matematica per l’insegnamento alla scuola secondaria di primo grado B (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
Teoria dei nodi B (6 cfu)
- Invarianti non classici.
- Invarianti non classici.
Teoria dei semigruppi (6 cfu)
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
Ricerca operativa (6 cfu)
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
Analisi non standard (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
Analisi superiore B (6 cfu)
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Spazi di Sobolev (6 cfu)
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di topologia algebrica (6 cfu)
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
Tecnologie per la didattica (6 cfu)
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
Curve ellittiche (6 cfu)
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
Gruppi algebrici lineari (6 cfu)
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
Applicazioni della fluidodinamica alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
Applicazioni di equazioni differenziali alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
Teoria dei gruppi (6 cfu)
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
3-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
Fisica III (6 cfu)
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
Geometria algebrica E (6 cfu)
- Superfici algebriche.
- Superfici algebriche.
Teoria ergodica (6 cfu)
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
Teoria dei codici (6 cfu)
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
Teoria dei numeri elementare (6 cfu)
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
Geometria reale computazionale (6 cfu)
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
Topologia Algebrica A (6 cfu)
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
Superfici minime (6 cfu)
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
Analisi complessa B (6 cfu)
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
Teoria dei controlli (6 cfu)
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
Dinamica iperbolica (6 cfu)
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
Algebra omologica (6 cfu)
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
Analisi in spazi metrici (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
Topologia differenziale (6 cfu)
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
Equazioni ellittiche (6 cfu)
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
Meccanica celeste (6 cfu)
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
Elementi di meccanica celeste (6 cfu)
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
Storia della matematica (6 cfu)
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
Algebra computazionale B (6 cfu)
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
Complementi di fisica (6 cfu)
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
Statistica matematica (6 cfu)
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
Analisi reale (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
Meccanica spaziale (6 cfu)
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
Dinamica del sistema solare (6 cfu)
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
Processi stocastici (6 cfu)
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
Teoria dei nodi A (6 cfu)
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
Meccanica superiore (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
Geometria algebrica F (6 cfu)
- Varietà toriche.
- Varietà toriche.
Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
Finanza matematica (6 cfu)
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
Gruppi di Coxeter (6 cfu)
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
Teoria della misura (6 cfu)
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
Geometria reale B (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
Meccanica relativistica (6 cfu)
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
Meccanica razionale (6 cfu)
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
Metodi numerici per la grafica (6 cfu)
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
Crittografia post-quantistica (6 cfu)
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
Teoria algebrica dei numeri 3 (6 cfu)
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
Algebra non commutativa (6 cfu)
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
Metodi di approssimazione (6 cfu)
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
Forme modulari (6 cfu)
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
Teoria delle funzioni (6 cfu)
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
Elementi di logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
Teoria della dimostrazione (6 cfu)
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
Geometria reale A (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
Teoria della calcolabilità (6 cfu)
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
Geometria algebrica G (6 cfu)
- Varietà algebriche di dimensione alta
- Varietà algebriche di dimensione alta
Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
Teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
Analisi armonica (6 cfu)
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
Calcolo delle variazioni A (6 cfu)
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
Analisi geometrica (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
Geometria riemanniana (6 cfu)
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
Teoria dei modelli (6 cfu)
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
Metodi di analisi armonica in analisi non lineare (6 cfu)
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
Topologia Algebrica B (6 cfu)
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
Teoria degli insiemi A (6 cfu)
- Insiemi costruibili e forcing.
- Insiemi costruibili e forcing.
Teoria degli insiemi B (6 cfu)
- Grandi cardinali.
- Grandi cardinali.
Rappresentazioni di Galois p-adiche (6 cfu)
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
2-varietà (6 cfu)
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
Algebra superiore B (6 cfu)
- Algebre e loro rappresentazioni
- Algebre e loro rappresentazioni
Matematica per l'insegnamento alla scuola secondaria di primo grado A (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Geometria e topologia differenziale (6 cfu)
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
Geometria differenziale complessa (6 cfu)
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
Matematica discreta (6 cfu)
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
Algebra superiore A (6 cfu)
- Algebra commutativa.
- Algebra commutativa.
Sistemi dinamici discreti (6 cfu)
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
Fisica matematica (6 cfu)
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
Problemi e metodi in storia della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Metodi matematici della crittografia (6 cfu)
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
Analisi dei dati (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
Equazioni iperboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
Geometria reale C (6 cfu)
- Topologia delle curve e superfici reali.
- Topologia delle curve e superfici reali.
Equazioni paraboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
Geometria algebrica A (6 cfu)
- Schemi, fasci, coomologia.
- Schemi, fasci, coomologia.
Analisi non lineare (6 cfu)
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
Matematica e musica (6 cfu)
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
Complementi di didattica della matematica (6 cfu)
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
Meccanica dei continui (6 cfu)
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
Funzioni L (6 cfu)
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
Teorie in didattica della matematica (6 cfu)
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt
- Moduli affini e integrativi
Coomologia Étale (6 cfu)
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
Metodi numerici per equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
Aspetti matematici nella computazione quantistica (6 cfu)
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
Combinatoria algebrica (6 cfu)
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
Analisi superiore A (6 cfu)
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
Geometria iperbolica (6 cfu)
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
Fondamenti della matematica (6 cfu)
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
Geometria algebrica B (6 cfu)
- Varietà complesse, metodi trascendenti
- Varietà complesse, metodi trascendenti
Analisi complessa A (6 cfu)
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
Geometria simplettica (6 cfu)
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
Determinazione orbitale (6 cfu)
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
Logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
Problemi di evoluzione (6 cfu)
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
Calcolo scientifico (6 cfu)
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
Elementi di analisi complessa (6 cfu)
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
Calcolo delle variazioni B (6 cfu)
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)
- Modelli finiti e complessità computazionale
- Modelli finiti e complessità computazionale
Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
Dinamica olomorfa (6 cfu)
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
Spazi simmetrici (6 cfu)
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
Teoria del controllo ottimo (6 cfu)
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
Funzioni speciali (6 cfu)
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
Geometria algebrica C (6 cfu)
- Curve e superfici di Riemann.
- Curve e superfici di Riemann.
Probabilità (6 cfu)
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
Onde lineari e non lineari (6 cfu)
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
Algebra lineare e multilineare (6 cfu)
- Strutture algebriche lineari.
- Strutture algebriche lineari.
Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
Geometria di contatto (6 cfu)
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
Problem solving (6 cfu)
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
Teoria dei giochi (6 cfu)
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
Complementi di analisi funzionale (6 cfu)
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
Algebra computazionale A (6 cfu)
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
Sistemi dinamici (6 cfu)
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
Statistica Superiore (6 cfu)
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
Geometria degli spazi metrici (6 cfu)
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
Analisi convessa (6 cfu)
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
Spazi di funzioni (6 cfu)
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
Topologia generale (6 cfu)
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
Probabilità superiore (6 cfu)
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
Geometria algebrica D (6 cfu)
- Tori complessi e varietà abeliane.
- Tori complessi e varietà abeliane.
Elementi di algebra computazionale (6 cfu)
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
Campi ciclotomici (6 cfu)
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
Analisi microlocale (6 cfu)
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
Elementi di geometria algebrica (6 cfu)
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
Algebra 2 (6 cfu)
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
4-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
Analisi matematica 3 (6 cfu)
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
Algebra 1 (6 cfu)
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
Teoria delle categorie (6 cfu)
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
Matematica per l’insegnamento alla scuola secondaria di primo grado B (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
Teoria dei nodi B (6 cfu)
- Invarianti non classici.
- Invarianti non classici.
Teoria dei semigruppi (6 cfu)
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
Ricerca operativa (6 cfu)
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
Analisi non standard (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
Analisi superiore B (6 cfu)
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Spazi di Sobolev (6 cfu)
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di topologia algebrica (6 cfu)
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
Tecnologie per la didattica (6 cfu)
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
Curve ellittiche (6 cfu)
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
Gruppi algebrici lineari (6 cfu)
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
Applicazioni della fluidodinamica alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
Applicazioni di equazioni differenziali alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
Teoria dei gruppi (6 cfu)
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
3-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
Fisica III (6 cfu)
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
Geometria algebrica E (6 cfu)
- Superfici algebriche.
- Superfici algebriche.
Teoria ergodica (6 cfu)
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
Teoria dei codici (6 cfu)
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
Teoria dei numeri elementare (6 cfu)
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
Geometria reale computazionale (6 cfu)
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
Topologia Algebrica A (6 cfu)
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
Superfici minime (6 cfu)
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
Analisi complessa B (6 cfu)
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
Teoria dei controlli (6 cfu)
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
Dinamica iperbolica (6 cfu)
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
Algebra omologica (6 cfu)
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
Analisi in spazi metrici (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
Topologia differenziale (6 cfu)
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
Equazioni ellittiche (6 cfu)
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
Meccanica celeste (6 cfu)
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
Elementi di meccanica celeste (6 cfu)
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
Storia della matematica (6 cfu)
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
Algebra computazionale B (6 cfu)
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
Complementi di fisica (6 cfu)
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
Statistica matematica (6 cfu)
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
Analisi reale (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
Meccanica spaziale (6 cfu)
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
Dinamica del sistema solare (6 cfu)
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
Processi stocastici (6 cfu)
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
Teoria dei nodi A (6 cfu)
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
Meccanica superiore (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
Geometria algebrica F (6 cfu)
- Varietà toriche.
- Varietà toriche.
Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
Finanza matematica (6 cfu)
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
Gruppi di Coxeter (6 cfu)
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
Teoria della misura (6 cfu)
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
Geometria reale B (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
Meccanica relativistica (6 cfu)
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
Meccanica razionale (6 cfu)
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
Metodi numerici per la grafica (6 cfu)
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
Crittografia post-quantistica (6 cfu)
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
Teoria algebrica dei numeri 3 (6 cfu)
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
Algebra non commutativa (6 cfu)
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
Metodi di approssimazione (6 cfu)
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
Forme modulari (6 cfu)
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
Teoria delle funzioni (6 cfu)
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
Elementi di logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
Teoria della dimostrazione (6 cfu)
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
Geometria reale A (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
Teoria della calcolabilità (6 cfu)
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
Geometria algebrica G (6 cfu)
- Varietà algebriche di dimensione alta
- Varietà algebriche di dimensione alta
Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
Teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
Analisi armonica (6 cfu)
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
Calcolo delle variazioni A (6 cfu)
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
Analisi geometrica (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
Geometria riemanniana (6 cfu)
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
Teoria dei modelli (6 cfu)
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
Metodi di analisi armonica in analisi non lineare (6 cfu)
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
Topologia Algebrica B (6 cfu)
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
Teoria degli insiemi A (6 cfu)
- Insiemi costruibili e forcing.
- Insiemi costruibili e forcing.
Teoria degli insiemi B (6 cfu)
- Grandi cardinali.
- Grandi cardinali.
Rappresentazioni di Galois p-adiche (6 cfu)
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
2-varietà (6 cfu)
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
Algebra superiore B (6 cfu)
- Algebre e loro rappresentazioni
- Algebre e loro rappresentazioni
Matematica per l'insegnamento alla scuola secondaria di primo grado A (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Geometria e topologia differenziale (6 cfu)
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
Geometria differenziale complessa (6 cfu)
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
Matematica discreta (6 cfu)
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
Algebra superiore A (6 cfu)
- Algebra commutativa.
- Algebra commutativa.
Sistemi dinamici discreti (6 cfu)
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
Fisica matematica (6 cfu)
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
Problemi e metodi in storia della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Metodi matematici della crittografia (6 cfu)
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
Analisi dei dati (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
Equazioni iperboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
Geometria reale C (6 cfu)
- Topologia delle curve e superfici reali.
- Topologia delle curve e superfici reali.
Equazioni paraboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
Geometria algebrica A (6 cfu)
- Schemi, fasci, coomologia.
- Schemi, fasci, coomologia.
Analisi non lineare (6 cfu)
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
Matematica e musica (6 cfu)
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
Complementi di didattica della matematica (6 cfu)
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
Meccanica dei continui (6 cfu)
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
Funzioni L (6 cfu)
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
Teorie in didattica della matematica (6 cfu)
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt
- Moduli affini e integrativi
Coomologia Étale (6 cfu)
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
Metodi numerici per equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
Aspetti matematici nella computazione quantistica (6 cfu)
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
Combinatoria algebrica (6 cfu)
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
Analisi superiore A (6 cfu)
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
Geometria iperbolica (6 cfu)
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
Fondamenti della matematica (6 cfu)
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
Geometria algebrica B (6 cfu)
- Varietà complesse, metodi trascendenti
- Varietà complesse, metodi trascendenti
Analisi complessa A (6 cfu)
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
Geometria simplettica (6 cfu)
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
Determinazione orbitale (6 cfu)
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
Logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
Problemi di evoluzione (6 cfu)
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
Calcolo scientifico (6 cfu)
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
Elementi di analisi complessa (6 cfu)
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
Calcolo delle variazioni B (6 cfu)
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)
- Modelli finiti e complessità computazionale
- Modelli finiti e complessità computazionale
Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
Dinamica olomorfa (6 cfu)
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
Spazi simmetrici (6 cfu)
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
Teoria del controllo ottimo (6 cfu)
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
Funzioni speciali (6 cfu)
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
Geometria algebrica C (6 cfu)
- Curve e superfici di Riemann.
- Curve e superfici di Riemann.
Probabilità (6 cfu)
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
Onde lineari e non lineari (6 cfu)
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
Algebra lineare e multilineare (6 cfu)
- Strutture algebriche lineari.
- Strutture algebriche lineari.
Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
Geometria di contatto (6 cfu)
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
Problem solving (6 cfu)
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
Teoria dei giochi (6 cfu)
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
Complementi di analisi funzionale (6 cfu)
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
Algebra computazionale A (6 cfu)
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
Sistemi dinamici (6 cfu)
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
Statistica Superiore (6 cfu)
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
Geometria degli spazi metrici (6 cfu)
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
Analisi convessa (6 cfu)
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
Spazi di funzioni (6 cfu)
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
Topologia generale (6 cfu)
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
Probabilità superiore (6 cfu)
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
Geometria algebrica D (6 cfu)
- Tori complessi e varietà abeliane.
- Tori complessi e varietà abeliane.
Elementi di algebra computazionale (6 cfu)
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
Campi ciclotomici (6 cfu)
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
Analisi microlocale (6 cfu)
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
Elementi di geometria algebrica (6 cfu)
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
Algebra 2 (6 cfu)
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
4-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
Analisi matematica 3 (6 cfu)
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
Algebra 1 (6 cfu)
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
Teoria delle categorie (6 cfu)
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
Matematica per l’insegnamento alla scuola secondaria di primo grado B (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
Teoria dei nodi B (6 cfu)
- Invarianti non classici.
- Invarianti non classici.
Teoria dei semigruppi (6 cfu)
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
Ricerca operativa (6 cfu)
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
Analisi non standard (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
Analisi superiore B (6 cfu)
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Spazi di Sobolev (6 cfu)
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di topologia algebrica (6 cfu)
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
Tecnologie per la didattica (6 cfu)
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
Curve ellittiche (6 cfu)
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
Gruppi algebrici lineari (6 cfu)
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
Applicazioni della fluidodinamica alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
Applicazioni di equazioni differenziali alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
Teoria dei gruppi (6 cfu)
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
3-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
Fisica III (6 cfu)
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
Geometria algebrica E (6 cfu)
- Superfici algebriche.
- Superfici algebriche.
Teoria ergodica (6 cfu)
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
Teoria dei codici (6 cfu)
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
Teoria dei numeri elementare (6 cfu)
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
Geometria reale computazionale (6 cfu)
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
Topologia Algebrica A (6 cfu)
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
Superfici minime (6 cfu)
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
Analisi complessa B (6 cfu)
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
Teoria dei controlli (6 cfu)
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
Dinamica iperbolica (6 cfu)
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
Algebra omologica (6 cfu)
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
Analisi in spazi metrici (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
Topologia differenziale (6 cfu)
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
Equazioni ellittiche (6 cfu)
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
Meccanica celeste (6 cfu)
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
Elementi di meccanica celeste (6 cfu)
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
Storia della matematica (6 cfu)
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
Algebra computazionale B (6 cfu)
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
Complementi di fisica (6 cfu)
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
Statistica matematica (6 cfu)
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
Analisi reale (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
Meccanica spaziale (6 cfu)
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
Dinamica del sistema solare (6 cfu)
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
Processi stocastici (6 cfu)
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
Teoria dei nodi A (6 cfu)
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
Meccanica superiore (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
Geometria algebrica F (6 cfu)
- Varietà toriche.
- Varietà toriche.
Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
Finanza matematica (6 cfu)
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
Gruppi di Coxeter (6 cfu)
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
Teoria della misura (6 cfu)
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
Geometria reale B (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
Meccanica relativistica (6 cfu)
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
Meccanica razionale (6 cfu)
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
Metodi numerici per la grafica (6 cfu)
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
Crittografia post-quantistica (6 cfu)
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
Teoria algebrica dei numeri 3 (6 cfu)
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
Algebra non commutativa (6 cfu)
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
Metodi di approssimazione (6 cfu)
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
Forme modulari (6 cfu)
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
Teoria delle funzioni (6 cfu)
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
Elementi di logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
Teoria della dimostrazione (6 cfu)
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
Geometria reale A (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
Teoria della calcolabilità (6 cfu)
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
Geometria algebrica G (6 cfu)
- Varietà algebriche di dimensione alta
- Varietà algebriche di dimensione alta
Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
Teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
Analisi armonica (6 cfu)
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
Calcolo delle variazioni A (6 cfu)
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
Analisi geometrica (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
Geometria riemanniana (6 cfu)
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
Teoria dei modelli (6 cfu)
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
Metodi di analisi armonica in analisi non lineare (6 cfu)
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
Topologia Algebrica B (6 cfu)
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
Teoria degli insiemi A (6 cfu)
- Insiemi costruibili e forcing.
- Insiemi costruibili e forcing.
Teoria degli insiemi B (6 cfu)
- Grandi cardinali.
- Grandi cardinali.
Rappresentazioni di Galois p-adiche (6 cfu)
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
2-varietà (6 cfu)
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
Algebra superiore B (6 cfu)
- Algebre e loro rappresentazioni
- Algebre e loro rappresentazioni
Matematica per l'insegnamento alla scuola secondaria di primo grado A (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Geometria e topologia differenziale (6 cfu)
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
Geometria differenziale complessa (6 cfu)
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
Matematica discreta (6 cfu)
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
Algebra superiore A (6 cfu)
- Algebra commutativa.
- Algebra commutativa.
Sistemi dinamici discreti (6 cfu)
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
Fisica matematica (6 cfu)
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
Problemi e metodi in storia della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Metodi matematici della crittografia (6 cfu)
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
Analisi dei dati (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
Equazioni iperboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
Geometria reale C (6 cfu)
- Topologia delle curve e superfici reali.
- Topologia delle curve e superfici reali.
Equazioni paraboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
Geometria algebrica A (6 cfu)
- Schemi, fasci, coomologia.
- Schemi, fasci, coomologia.
Analisi non lineare (6 cfu)
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
Matematica e musica (6 cfu)
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
Complementi di didattica della matematica (6 cfu)
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
Meccanica dei continui (6 cfu)
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
Funzioni L (6 cfu)
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
Teorie in didattica della matematica (6 cfu)
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
11 cfu a scelta nel gruppo IstTeor
- Istituzioni teoriche
Istituzioni di geometria (11 cfu)
- Calcolo differenziale globale; coomologia di de Rham; connessioni e curvature; rudimenti di gruppi di Lie.
- Calcolo differenziale globale; coomologia di de Rham; connessioni e curvature; rudimenti di gruppi di Lie.
Istituzioni di analisi matematica (11 cfu)
- Spazi di Banach e Hilbert. Operatori lineari, completezza, convessità, dualità, teoria spettrale per operatori compatti su spazi di Hilbert ed applicazioni al problema di Sturm. Spazi di distribuzioni. Trasformata di Fourier di distribuzioni. Spazi di Sobolev, immersioni di Sobolev, compattezza e teorema di traccia.
- Spazi di Banach e Hilbert. Operatori lineari, completezza, convessità, dualità, teoria spettrale per operatori compatti su spazi di Hilbert ed applicazioni al problema di Sturm. Spazi di distribuzioni. Trasformata di Fourier di distribuzioni. Spazi di Sobolev, immersioni di Sobolev, compattezza e teorema di traccia.
Istituzioni di algebra (11 cfu)
- Localizzazione di anelli e moduli, anelli e moduli noetheriani ed artiniani, decomposizione primaria, estensioni intere, domini di Dedekind, valutazioni ed anelli di valutazione, completamenti, dimensione e polinomio di Hilbert. Algebra Omologica.
- Localizzazione di anelli e moduli, anelli e moduli noetheriani ed artiniani, decomposizione primaria, estensioni intere, domini di Dedekind, valutazioni ed anelli di valutazione, completamenti, dimensione e polinomio di Hilbert. Algebra Omologica.
A scelta dello studente (6 cfu)
- Qualsiasi insegnamento attivato nell'Ateneo, purché coerente con il progetto formativo. La coerenza delle attività scelte dallo studente con il progetto formativo deve essere approvata dal Consiglio di Corso di Studio, anche tenendo conto degli specifici interessi culturali e di sviluppo di carriera dello studente.
- Qualsiasi insegnamento attivato nell'Ateneo, purché coerente con il progetto formativo. La coerenza delle attività scelte dallo studente con il progetto formativo deve essere approvata dal Consiglio di Corso di Studio, anche tenendo conto degli specifici interessi culturali e di sviluppo di carriera dello studente.
11 cfu a scelta nel gruppo IstAppl
- Istituzioni applicative
Istituzioni di fisica matematica (11 cfu)
- Principi variazionali della Meccanica ed equazioni di Eulero-Lagrange, dinamica e geodetiche, sistemi hamiltoniani, trasformazioni canoniche, equazione di Hamilton-Jacobi, problemi integrabili e teorema di Liouville-Arnold, introduzione alla teoria delle perturbazioni.
- Principi variazionali della Meccanica ed equazioni di Eulero-Lagrange, dinamica e geodetiche, sistemi hamiltoniani, trasformazioni canoniche, equazione di Hamilton-Jacobi, problemi integrabili e teorema di Liouville-Arnold, introduzione alla teoria delle perturbazioni.
Istituzioni di analisi numerica (11 cfu)
- Polinomi ortogonali; approssimazione ai minimi quadrati e minimax; interpolazione spline; formule gaussiane di integrazione. Metodi alle differenze finite per equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico, parabolico e iperbolico.
- Polinomi ortogonali; approssimazione ai minimi quadrati e minimax; interpolazione spline; formule gaussiane di integrazione. Metodi alle differenze finite per equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico, parabolico e iperbolico.
Istituzioni di probabilità (11 cfu)
- Processi stocastici a tempi continui, processi di Markov: due esempi (processo di Wiener e processo di Poisson). Integrazione stocastica secondo Ito, formula di Ito e applicazioni. Equazioni differenziali stocastiche e legami con equazioni a derivate parziali. Alcune applicazioni (filtraggio e formule di Black-Scholes).
- Processi stocastici a tempi continui, processi di Markov: due esempi (processo di Wiener e processo di Poisson). Integrazione stocastica secondo Ito, formula di Ito e applicazioni. Equazioni differenziali stocastiche e legami con equazioni a derivate parziali. Alcune applicazioni (filtraggio e formule di Black-Scholes).
6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt
- Moduli affini e integrativi
Coomologia Étale (6 cfu)
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
Metodi numerici per equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
Aspetti matematici nella computazione quantistica (6 cfu)
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
Combinatoria algebrica (6 cfu)
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
Analisi superiore A (6 cfu)
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
Geometria iperbolica (6 cfu)
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
Fondamenti della matematica (6 cfu)
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
Geometria algebrica B (6 cfu)
- Varietà complesse, metodi trascendenti
- Varietà complesse, metodi trascendenti
Analisi complessa A (6 cfu)
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
Geometria simplettica (6 cfu)
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
Determinazione orbitale (6 cfu)
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
Logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
Problemi di evoluzione (6 cfu)
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
Calcolo scientifico (6 cfu)
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
Elementi di analisi complessa (6 cfu)
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
Calcolo delle variazioni B (6 cfu)
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)
- Modelli finiti e complessità computazionale
- Modelli finiti e complessità computazionale
Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
Dinamica olomorfa (6 cfu)
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
Spazi simmetrici (6 cfu)
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
Teoria del controllo ottimo (6 cfu)
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
Funzioni speciali (6 cfu)
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
Geometria algebrica C (6 cfu)
- Curve e superfici di Riemann.
- Curve e superfici di Riemann.
Probabilità (6 cfu)
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
Onde lineari e non lineari (6 cfu)
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
Algebra lineare e multilineare (6 cfu)
- Strutture algebriche lineari.
- Strutture algebriche lineari.
Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
Geometria di contatto (6 cfu)
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
Problem solving (6 cfu)
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
Teoria dei giochi (6 cfu)
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
Complementi di analisi funzionale (6 cfu)
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
Algebra computazionale A (6 cfu)
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
Sistemi dinamici (6 cfu)
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
Statistica Superiore (6 cfu)
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
Geometria degli spazi metrici (6 cfu)
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
Analisi convessa (6 cfu)
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
Spazi di funzioni (6 cfu)
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
Topologia generale (6 cfu)
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
Probabilità superiore (6 cfu)
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
Geometria algebrica D (6 cfu)
- Tori complessi e varietà abeliane.
- Tori complessi e varietà abeliane.
Elementi di algebra computazionale (6 cfu)
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
Campi ciclotomici (6 cfu)
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
Analisi microlocale (6 cfu)
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
Elementi di geometria algebrica (6 cfu)
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
Algebra 2 (6 cfu)
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
4-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
Analisi matematica 3 (6 cfu)
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
Algebra 1 (6 cfu)
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
Teoria delle categorie (6 cfu)
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
Matematica per l’insegnamento alla scuola secondaria di primo grado B (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
Teoria dei nodi B (6 cfu)
- Invarianti non classici.
- Invarianti non classici.
Teoria dei semigruppi (6 cfu)
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
Ricerca operativa (6 cfu)
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
Analisi non standard (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
Analisi superiore B (6 cfu)
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Spazi di Sobolev (6 cfu)
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di topologia algebrica (6 cfu)
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
Tecnologie per la didattica (6 cfu)
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
Curve ellittiche (6 cfu)
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
Gruppi algebrici lineari (6 cfu)
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
Applicazioni della fluidodinamica alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
Applicazioni di equazioni differenziali alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
Teoria dei gruppi (6 cfu)
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
3-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
Fisica III (6 cfu)
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
Geometria algebrica E (6 cfu)
- Superfici algebriche.
- Superfici algebriche.
Teoria ergodica (6 cfu)
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
Teoria dei codici (6 cfu)
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
Teoria dei numeri elementare (6 cfu)
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
Geometria reale computazionale (6 cfu)
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
Topologia Algebrica A (6 cfu)
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
Superfici minime (6 cfu)
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
Analisi complessa B (6 cfu)
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
Teoria dei controlli (6 cfu)
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
Dinamica iperbolica (6 cfu)
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
Algebra omologica (6 cfu)
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
Analisi in spazi metrici (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
Topologia differenziale (6 cfu)
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
Equazioni ellittiche (6 cfu)
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
Meccanica celeste (6 cfu)
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
Elementi di meccanica celeste (6 cfu)
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
Storia della matematica (6 cfu)
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
Algebra computazionale B (6 cfu)
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
Complementi di fisica (6 cfu)
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
Statistica matematica (6 cfu)
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
Analisi reale (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
Meccanica spaziale (6 cfu)
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
Dinamica del sistema solare (6 cfu)
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
Processi stocastici (6 cfu)
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
Teoria dei nodi A (6 cfu)
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
Meccanica superiore (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
Geometria algebrica F (6 cfu)
- Varietà toriche.
- Varietà toriche.
Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
Finanza matematica (6 cfu)
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
Gruppi di Coxeter (6 cfu)
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
Teoria della misura (6 cfu)
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
Geometria reale B (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
Meccanica relativistica (6 cfu)
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
Meccanica razionale (6 cfu)
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
Metodi numerici per la grafica (6 cfu)
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
Crittografia post-quantistica (6 cfu)
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
Teoria algebrica dei numeri 3 (6 cfu)
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
Algebra non commutativa (6 cfu)
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
Metodi di approssimazione (6 cfu)
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
Forme modulari (6 cfu)
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
Teoria delle funzioni (6 cfu)
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
Elementi di logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
Teoria della dimostrazione (6 cfu)
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
Geometria reale A (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
Teoria della calcolabilità (6 cfu)
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
Geometria algebrica G (6 cfu)
- Varietà algebriche di dimensione alta
- Varietà algebriche di dimensione alta
Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
Teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
Analisi armonica (6 cfu)
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
Calcolo delle variazioni A (6 cfu)
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
Analisi geometrica (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
Geometria riemanniana (6 cfu)
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
Teoria dei modelli (6 cfu)
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
Metodi di analisi armonica in analisi non lineare (6 cfu)
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
Topologia Algebrica B (6 cfu)
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
Teoria degli insiemi A (6 cfu)
- Insiemi costruibili e forcing.
- Insiemi costruibili e forcing.
Teoria degli insiemi B (6 cfu)
- Grandi cardinali.
- Grandi cardinali.
Rappresentazioni di Galois p-adiche (6 cfu)
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
2-varietà (6 cfu)
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
Algebra superiore B (6 cfu)
- Algebre e loro rappresentazioni
- Algebre e loro rappresentazioni
Matematica per l'insegnamento alla scuola secondaria di primo grado A (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Geometria e topologia differenziale (6 cfu)
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
Geometria differenziale complessa (6 cfu)
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
Matematica discreta (6 cfu)
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
Algebra superiore A (6 cfu)
- Algebra commutativa.
- Algebra commutativa.
Sistemi dinamici discreti (6 cfu)
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
Fisica matematica (6 cfu)
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
Problemi e metodi in storia della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Metodi matematici della crittografia (6 cfu)
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
Analisi dei dati (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
Equazioni iperboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
Geometria reale C (6 cfu)
- Topologia delle curve e superfici reali.
- Topologia delle curve e superfici reali.
Equazioni paraboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
Geometria algebrica A (6 cfu)
- Schemi, fasci, coomologia.
- Schemi, fasci, coomologia.
Analisi non lineare (6 cfu)
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
Matematica e musica (6 cfu)
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
Complementi di didattica della matematica (6 cfu)
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
Meccanica dei continui (6 cfu)
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
Funzioni L (6 cfu)
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
Teorie in didattica della matematica (6 cfu)
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
11 cfu a scelta nel gruppo IstTeor
- Istituzioni teoriche
Istituzioni di geometria (11 cfu)
- Calcolo differenziale globale; coomologia di de Rham; connessioni e curvature; rudimenti di gruppi di Lie.
- Calcolo differenziale globale; coomologia di de Rham; connessioni e curvature; rudimenti di gruppi di Lie.
Istituzioni di analisi matematica (11 cfu)
- Spazi di Banach e Hilbert. Operatori lineari, completezza, convessità, dualità, teoria spettrale per operatori compatti su spazi di Hilbert ed applicazioni al problema di Sturm. Spazi di distribuzioni. Trasformata di Fourier di distribuzioni. Spazi di Sobolev, immersioni di Sobolev, compattezza e teorema di traccia.
- Spazi di Banach e Hilbert. Operatori lineari, completezza, convessità, dualità, teoria spettrale per operatori compatti su spazi di Hilbert ed applicazioni al problema di Sturm. Spazi di distribuzioni. Trasformata di Fourier di distribuzioni. Spazi di Sobolev, immersioni di Sobolev, compattezza e teorema di traccia.
Istituzioni di algebra (11 cfu)
- Localizzazione di anelli e moduli, anelli e moduli noetheriani ed artiniani, decomposizione primaria, estensioni intere, domini di Dedekind, valutazioni ed anelli di valutazione, completamenti, dimensione e polinomio di Hilbert. Algebra Omologica.
- Localizzazione di anelli e moduli, anelli e moduli noetheriani ed artiniani, decomposizione primaria, estensioni intere, domini di Dedekind, valutazioni ed anelli di valutazione, completamenti, dimensione e polinomio di Hilbert. Algebra Omologica.
6 cfu a scelta nel gruppo ModTeor
- Moduli teorici
Combinatoria algebrica (6 cfu)
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
Analisi superiore A (6 cfu)
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
Geometria iperbolica (6 cfu)
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
Geometria algebrica B (6 cfu)
- Varietà complesse, metodi trascendenti
- Varietà complesse, metodi trascendenti
Analisi complessa A (6 cfu)
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
Logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
Problemi di evoluzione (6 cfu)
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
Elementi di analisi complessa (6 cfu)
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
Dinamica olomorfa (6 cfu)
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
Geometria algebrica C (6 cfu)
- Curve e superfici di Riemann.
- Curve e superfici di Riemann.
Algebra computazionale A (6 cfu)
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
Analisi convessa (6 cfu)
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di algebra computazionale (6 cfu)
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
Elementi di geometria algebrica (6 cfu)
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
Algebra 2 (6 cfu)
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
Analisi matematica 3 (6 cfu)
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
Teoria dei nodi B (6 cfu)
- Invarianti non classici.
- Invarianti non classici.
Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
Analisi superiore B (6 cfu)
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
Spazi di Sobolev (6 cfu)
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di topologia algebrica (6 cfu)
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
3-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
Teoria dei numeri elementare (6 cfu)
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
Topologia Algebrica A (6 cfu)
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
Teoria dei controlli (6 cfu)
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
Topologia differenziale (6 cfu)
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
Equazioni ellittiche (6 cfu)
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
Algebra computazionale B (6 cfu)
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
Teoria dei nodi A (6 cfu)
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
Teoria della misura (6 cfu)
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
Geometria reale B (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
Geometria reale A (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
Analisi armonica (6 cfu)
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
Calcolo delle variazioni A (6 cfu)
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
Geometria riemanniana (6 cfu)
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
Teoria dei modelli (6 cfu)
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
Topologia Algebrica B (6 cfu)
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
Teoria degli insiemi A (6 cfu)
- Insiemi costruibili e forcing.
- Insiemi costruibili e forcing.
Teoria degli insiemi B (6 cfu)
- Grandi cardinali.
- Grandi cardinali.
Algebra superiore B (6 cfu)
- Algebre e loro rappresentazioni
- Algebre e loro rappresentazioni
Geometria e topologia differenziale (6 cfu)
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
Geometria differenziale complessa (6 cfu)
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
Algebra superiore A (6 cfu)
- Algebra commutativa.
- Algebra commutativa.
Equazioni iperboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
Geometria algebrica A (6 cfu)
- Schemi, fasci, coomologia.
- Schemi, fasci, coomologia.
Analisi non lineare (6 cfu)
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
6 cfu a scelta nel gruppo ModTeor
- Moduli teorici
Combinatoria algebrica (6 cfu)
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
Analisi superiore A (6 cfu)
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
Geometria iperbolica (6 cfu)
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
Geometria algebrica B (6 cfu)
- Varietà complesse, metodi trascendenti
- Varietà complesse, metodi trascendenti
Analisi complessa A (6 cfu)
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
Logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
Problemi di evoluzione (6 cfu)
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
Elementi di analisi complessa (6 cfu)
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
Dinamica olomorfa (6 cfu)
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
Geometria algebrica C (6 cfu)
- Curve e superfici di Riemann.
- Curve e superfici di Riemann.
Algebra computazionale A (6 cfu)
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
Analisi convessa (6 cfu)
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di algebra computazionale (6 cfu)
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
Elementi di geometria algebrica (6 cfu)
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
Algebra 2 (6 cfu)
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
Analisi matematica 3 (6 cfu)
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
Teoria dei nodi B (6 cfu)
- Invarianti non classici.
- Invarianti non classici.
Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
Analisi superiore B (6 cfu)
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
Spazi di Sobolev (6 cfu)
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di topologia algebrica (6 cfu)
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
3-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
Teoria dei numeri elementare (6 cfu)
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
Topologia Algebrica A (6 cfu)
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
Teoria dei controlli (6 cfu)
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
Topologia differenziale (6 cfu)
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
Equazioni ellittiche (6 cfu)
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
Algebra computazionale B (6 cfu)
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
Teoria dei nodi A (6 cfu)
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
Teoria della misura (6 cfu)
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
Geometria reale B (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
Geometria reale A (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
Analisi armonica (6 cfu)
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
Calcolo delle variazioni A (6 cfu)
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
Geometria riemanniana (6 cfu)
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
Teoria dei modelli (6 cfu)
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
Topologia Algebrica B (6 cfu)
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
Teoria degli insiemi A (6 cfu)
- Insiemi costruibili e forcing.
- Insiemi costruibili e forcing.
Teoria degli insiemi B (6 cfu)
- Grandi cardinali.
- Grandi cardinali.
Algebra superiore B (6 cfu)
- Algebre e loro rappresentazioni
- Algebre e loro rappresentazioni
Geometria e topologia differenziale (6 cfu)
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
Geometria differenziale complessa (6 cfu)
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
Algebra superiore A (6 cfu)
- Algebra commutativa.
- Algebra commutativa.
Equazioni iperboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
Geometria algebrica A (6 cfu)
- Schemi, fasci, coomologia.
- Schemi, fasci, coomologia.
Analisi non lineare (6 cfu)
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
6 cfu a scelta nel gruppo ModTeor
- Moduli teorici
Combinatoria algebrica (6 cfu)
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
Analisi superiore A (6 cfu)
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
Geometria iperbolica (6 cfu)
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
Geometria algebrica B (6 cfu)
- Varietà complesse, metodi trascendenti
- Varietà complesse, metodi trascendenti
Analisi complessa A (6 cfu)
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
Logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
Problemi di evoluzione (6 cfu)
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
Elementi di analisi complessa (6 cfu)
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
Dinamica olomorfa (6 cfu)
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
Geometria algebrica C (6 cfu)
- Curve e superfici di Riemann.
- Curve e superfici di Riemann.
Algebra computazionale A (6 cfu)
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
Analisi convessa (6 cfu)
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di algebra computazionale (6 cfu)
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
Elementi di geometria algebrica (6 cfu)
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
Algebra 2 (6 cfu)
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
Analisi matematica 3 (6 cfu)
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
Teoria dei nodi B (6 cfu)
- Invarianti non classici.
- Invarianti non classici.
Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
Analisi superiore B (6 cfu)
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
Spazi di Sobolev (6 cfu)
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di topologia algebrica (6 cfu)
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
3-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
Teoria dei numeri elementare (6 cfu)
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
Topologia Algebrica A (6 cfu)
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
Teoria dei controlli (6 cfu)
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
Topologia differenziale (6 cfu)
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
Equazioni ellittiche (6 cfu)
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
Algebra computazionale B (6 cfu)
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
Teoria dei nodi A (6 cfu)
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
Teoria della misura (6 cfu)
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
Geometria reale B (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
Geometria reale A (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
Analisi armonica (6 cfu)
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
Calcolo delle variazioni A (6 cfu)
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
Geometria riemanniana (6 cfu)
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
Teoria dei modelli (6 cfu)
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
Topologia Algebrica B (6 cfu)
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
Teoria degli insiemi A (6 cfu)
- Insiemi costruibili e forcing.
- Insiemi costruibili e forcing.
Teoria degli insiemi B (6 cfu)
- Grandi cardinali.
- Grandi cardinali.
Algebra superiore B (6 cfu)
- Algebre e loro rappresentazioni
- Algebre e loro rappresentazioni
Geometria e topologia differenziale (6 cfu)
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
Geometria differenziale complessa (6 cfu)
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
Algebra superiore A (6 cfu)
- Algebra commutativa.
- Algebra commutativa.
Equazioni iperboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
Geometria algebrica A (6 cfu)
- Schemi, fasci, coomologia.
- Schemi, fasci, coomologia.
Analisi non lineare (6 cfu)
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
6 cfu a scelta nel gruppo ModTeor
- Moduli teorici
Combinatoria algebrica (6 cfu)
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
Analisi superiore A (6 cfu)
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
Geometria iperbolica (6 cfu)
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
Geometria algebrica B (6 cfu)
- Varietà complesse, metodi trascendenti
- Varietà complesse, metodi trascendenti
Analisi complessa A (6 cfu)
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
Logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
Problemi di evoluzione (6 cfu)
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
Elementi di analisi complessa (6 cfu)
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
Dinamica olomorfa (6 cfu)
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
Geometria algebrica C (6 cfu)
- Curve e superfici di Riemann.
- Curve e superfici di Riemann.
Algebra computazionale A (6 cfu)
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
Analisi convessa (6 cfu)
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di algebra computazionale (6 cfu)
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
Elementi di geometria algebrica (6 cfu)
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
Algebra 2 (6 cfu)
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
Analisi matematica 3 (6 cfu)
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
Teoria dei nodi B (6 cfu)
- Invarianti non classici.
- Invarianti non classici.
Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
Analisi superiore B (6 cfu)
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
Spazi di Sobolev (6 cfu)
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di topologia algebrica (6 cfu)
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
3-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
Teoria dei numeri elementare (6 cfu)
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
Topologia Algebrica A (6 cfu)
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
Teoria dei controlli (6 cfu)
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
Topologia differenziale (6 cfu)
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
Equazioni ellittiche (6 cfu)
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
Algebra computazionale B (6 cfu)
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
Teoria dei nodi A (6 cfu)
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
Teoria della misura (6 cfu)
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
Geometria reale B (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
Geometria reale A (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
Analisi armonica (6 cfu)
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
Calcolo delle variazioni A (6 cfu)
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
Geometria riemanniana (6 cfu)
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
Teoria dei modelli (6 cfu)
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
Topologia Algebrica B (6 cfu)
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
Teoria degli insiemi A (6 cfu)
- Insiemi costruibili e forcing.
- Insiemi costruibili e forcing.
Teoria degli insiemi B (6 cfu)
- Grandi cardinali.
- Grandi cardinali.
Algebra superiore B (6 cfu)
- Algebre e loro rappresentazioni
- Algebre e loro rappresentazioni
Geometria e topologia differenziale (6 cfu)
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
Geometria differenziale complessa (6 cfu)
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
Algebra superiore A (6 cfu)
- Algebra commutativa.
- Algebra commutativa.
Equazioni iperboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
Geometria algebrica A (6 cfu)
- Schemi, fasci, coomologia.
- Schemi, fasci, coomologia.
Analisi non lineare (6 cfu)
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
Prova finale (27 cfu)
- La prova finale del corso di Laurea Magistrale in Matematica consiste nella stesura di una tesi (in italiano o in inglese) elaborata in modo originale dallo studente con l’assistenza di almeno un docente (relatore), eventualmente esterno al corso di studi, e in una esposizione orale conclusiva del lavoro svolto. La prova finale verrà valutata in base alla originalità dei risultati, alla padronanza dell’argomento, all’autonomia e alle capacità espositiva e di ricerca bibliografica mostrate dal candidato. La redazione della tesi può eventualmente avvenire anche all’interno di un tirocinio formativo (stage) presso aziende o laboratori esterni, o durante soggiorni di studio presso altre università italiane ed estere, anche nel quadro di accordi internazionali.
Alla prova finale sono attribuiti 27 CFU, di cui 1 CFU corrispondente a ulteriori attività formative utili per l’inserimento nel mondo del lavoro.
Nomina del controrelatore.
La tesi dev’essere esaminata anche da un controrelatore, che produrrà un parere da presentare in fase
di discussione finale. Se il relatore è esterno al dipartimento di Matematica dell’Università di Pisa, allora il controrelatore dev’essere scelto fra i docenti afferenti al dipartimento di Matematica dell’Università di Pisa. La nomina del controrelatore spetta al presidente di corso di laurea magistrale in Matematica, partendo (ma non necessariamente limitandosi a) uno o più nominativi che devono essere suggeriti dal relatore con almeno un mese d’anticipo sulla sessione di laurea in cui sarà discussa la tesi.
- La prova finale del corso di Laurea Magistrale in Matematica consiste nella stesura di una tesi (in italiano o in inglese) elaborata in modo originale dallo studente con l’assistenza di almeno un docente (relatore), eventualmente esterno al corso di studi, e in una esposizione orale conclusiva del lavoro svolto. La prova finale verrà valutata in base alla originalità dei risultati, alla padronanza dell’argomento, all’autonomia e alle capacità espositiva e di ricerca bibliografica mostrate dal candidato. La redazione della tesi può eventualmente avvenire anche all’interno di un tirocinio formativo (stage) presso aziende o laboratori esterni, o durante soggiorni di studio presso altre università italiane ed estere, anche nel quadro di accordi internazionali.
A scelta dello studente (6 cfu)
- Qualsiasi insegnamento attivato nell'Ateneo, purché coerente con il progetto formativo. La coerenza delle attività scelte dallo studente con il progetto formativo deve essere approvata dal Consiglio di Corso di Studio, anche tenendo conto degli specifici interessi culturali e di sviluppo di carriera dello studente.
- Qualsiasi insegnamento attivato nell'Ateneo, purché coerente con il progetto formativo. La coerenza delle attività scelte dallo studente con il progetto formativo deve essere approvata dal Consiglio di Corso di Studio, anche tenendo conto degli specifici interessi culturali e di sviluppo di carriera dello studente.
11 cfu a scelta nel gruppo IstTot
- Istituzioni totali
Istituzioni di didattica della matematica (11 cfu)
- La conoscenza dei modelli teorici classici della ricerca internazionale in didattica della matematica. La conoscenza e l’analisi critica delle indicazioni per il curriculum di matematica nella scuola italiana. La conoscenza e l’analisi critica dei quadri teorici di riferimento delle agenzie nazionali ed internazionali di valutazione degli apprendimenti in matematica.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
Le metodologie per l'insegnamento sviluppate nella ricerca in didattica della matematica.
la progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
- La conoscenza dei modelli teorici classici della ricerca internazionale in didattica della matematica. La conoscenza e l’analisi critica delle indicazioni per il curriculum di matematica nella scuola italiana. La conoscenza e l’analisi critica dei quadri teorici di riferimento delle agenzie nazionali ed internazionali di valutazione degli apprendimenti in matematica.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
Le metodologie per l'insegnamento sviluppate nella ricerca in didattica della matematica.
la progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
Istituzioni di geometria (11 cfu)
- Calcolo differenziale globale; coomologia di de Rham; connessioni e curvature; rudimenti di gruppi di Lie.
- Calcolo differenziale globale; coomologia di de Rham; connessioni e curvature; rudimenti di gruppi di Lie.
Istituzioni di fisica matematica (11 cfu)
- Principi variazionali della Meccanica ed equazioni di Eulero-Lagrange, dinamica e geodetiche, sistemi hamiltoniani, trasformazioni canoniche, equazione di Hamilton-Jacobi, problemi integrabili e teorema di Liouville-Arnold, introduzione alla teoria delle perturbazioni.
- Principi variazionali della Meccanica ed equazioni di Eulero-Lagrange, dinamica e geodetiche, sistemi hamiltoniani, trasformazioni canoniche, equazione di Hamilton-Jacobi, problemi integrabili e teorema di Liouville-Arnold, introduzione alla teoria delle perturbazioni.
Istituzioni di analisi numerica (11 cfu)
- Polinomi ortogonali; approssimazione ai minimi quadrati e minimax; interpolazione spline; formule gaussiane di integrazione. Metodi alle differenze finite per equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico, parabolico e iperbolico.
- Polinomi ortogonali; approssimazione ai minimi quadrati e minimax; interpolazione spline; formule gaussiane di integrazione. Metodi alle differenze finite per equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico, parabolico e iperbolico.
Istituzioni di probabilità (11 cfu)
- Processi stocastici a tempi continui, processi di Markov: due esempi (processo di Wiener e processo di Poisson). Integrazione stocastica secondo Ito, formula di Ito e applicazioni. Equazioni differenziali stocastiche e legami con equazioni a derivate parziali. Alcune applicazioni (filtraggio e formule di Black-Scholes).
- Processi stocastici a tempi continui, processi di Markov: due esempi (processo di Wiener e processo di Poisson). Integrazione stocastica secondo Ito, formula di Ito e applicazioni. Equazioni differenziali stocastiche e legami con equazioni a derivate parziali. Alcune applicazioni (filtraggio e formule di Black-Scholes).
Istituzioni di analisi matematica (11 cfu)
- Spazi di Banach e Hilbert. Operatori lineari, completezza, convessità, dualità, teoria spettrale per operatori compatti su spazi di Hilbert ed applicazioni al problema di Sturm. Spazi di distribuzioni. Trasformata di Fourier di distribuzioni. Spazi di Sobolev, immersioni di Sobolev, compattezza e teorema di traccia.
- Spazi di Banach e Hilbert. Operatori lineari, completezza, convessità, dualità, teoria spettrale per operatori compatti su spazi di Hilbert ed applicazioni al problema di Sturm. Spazi di distribuzioni. Trasformata di Fourier di distribuzioni. Spazi di Sobolev, immersioni di Sobolev, compattezza e teorema di traccia.
Istituzioni di algebra (11 cfu)
- Localizzazione di anelli e moduli, anelli e moduli noetheriani ed artiniani, decomposizione primaria, estensioni intere, domini di Dedekind, valutazioni ed anelli di valutazione, completamenti, dimensione e polinomio di Hilbert. Algebra Omologica.
- Localizzazione di anelli e moduli, anelli e moduli noetheriani ed artiniani, decomposizione primaria, estensioni intere, domini di Dedekind, valutazioni ed anelli di valutazione, completamenti, dimensione e polinomio di Hilbert. Algebra Omologica.
6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt
- Moduli affini e integrativi
Coomologia Étale (6 cfu)
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
Metodi numerici per equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
Aspetti matematici nella computazione quantistica (6 cfu)
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
Combinatoria algebrica (6 cfu)
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
Analisi superiore A (6 cfu)
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
Geometria iperbolica (6 cfu)
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
Fondamenti della matematica (6 cfu)
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
Geometria algebrica B (6 cfu)
- Varietà complesse, metodi trascendenti
- Varietà complesse, metodi trascendenti
Analisi complessa A (6 cfu)
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
Geometria simplettica (6 cfu)
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
Determinazione orbitale (6 cfu)
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
Logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
Problemi di evoluzione (6 cfu)
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
Calcolo scientifico (6 cfu)
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
Elementi di analisi complessa (6 cfu)
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
Calcolo delle variazioni B (6 cfu)
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)
- Modelli finiti e complessità computazionale
- Modelli finiti e complessità computazionale
Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
Dinamica olomorfa (6 cfu)
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
Spazi simmetrici (6 cfu)
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
Teoria del controllo ottimo (6 cfu)
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
Funzioni speciali (6 cfu)
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
Geometria algebrica C (6 cfu)
- Curve e superfici di Riemann.
- Curve e superfici di Riemann.
Probabilità (6 cfu)
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
Onde lineari e non lineari (6 cfu)
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
Algebra lineare e multilineare (6 cfu)
- Strutture algebriche lineari.
- Strutture algebriche lineari.
Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
Geometria di contatto (6 cfu)
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
Problem solving (6 cfu)
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
Teoria dei giochi (6 cfu)
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
Complementi di analisi funzionale (6 cfu)
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
Algebra computazionale A (6 cfu)
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
Sistemi dinamici (6 cfu)
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
Statistica Superiore (6 cfu)
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
Geometria degli spazi metrici (6 cfu)
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
Analisi convessa (6 cfu)
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
Spazi di funzioni (6 cfu)
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
Topologia generale (6 cfu)
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
Probabilità superiore (6 cfu)
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
Geometria algebrica D (6 cfu)
- Tori complessi e varietà abeliane.
- Tori complessi e varietà abeliane.
Elementi di algebra computazionale (6 cfu)
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
Campi ciclotomici (6 cfu)
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
Analisi microlocale (6 cfu)
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
Elementi di geometria algebrica (6 cfu)
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
Algebra 2 (6 cfu)
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
4-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
Analisi matematica 3 (6 cfu)
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
Algebra 1 (6 cfu)
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
Teoria delle categorie (6 cfu)
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
Matematica per l’insegnamento alla scuola secondaria di primo grado B (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
Teoria dei nodi B (6 cfu)
- Invarianti non classici.
- Invarianti non classici.
Teoria dei semigruppi (6 cfu)
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
Ricerca operativa (6 cfu)
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
Analisi non standard (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
Analisi superiore B (6 cfu)
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Spazi di Sobolev (6 cfu)
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di topologia algebrica (6 cfu)
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
Tecnologie per la didattica (6 cfu)
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
Curve ellittiche (6 cfu)
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
Gruppi algebrici lineari (6 cfu)
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
Applicazioni della fluidodinamica alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
Applicazioni di equazioni differenziali alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
Teoria dei gruppi (6 cfu)
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
3-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
Fisica III (6 cfu)
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
Geometria algebrica E (6 cfu)
- Superfici algebriche.
- Superfici algebriche.
Teoria ergodica (6 cfu)
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
Teoria dei codici (6 cfu)
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
Teoria dei numeri elementare (6 cfu)
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
Geometria reale computazionale (6 cfu)
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
Topologia Algebrica A (6 cfu)
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
Superfici minime (6 cfu)
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
Analisi complessa B (6 cfu)
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
Teoria dei controlli (6 cfu)
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
Dinamica iperbolica (6 cfu)
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
Algebra omologica (6 cfu)
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
Analisi in spazi metrici (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
Topologia differenziale (6 cfu)
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
Equazioni ellittiche (6 cfu)
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
Meccanica celeste (6 cfu)
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
Elementi di meccanica celeste (6 cfu)
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
Storia della matematica (6 cfu)
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
Algebra computazionale B (6 cfu)
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
Complementi di fisica (6 cfu)
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
Statistica matematica (6 cfu)
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
Analisi reale (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
Meccanica spaziale (6 cfu)
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
Dinamica del sistema solare (6 cfu)
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
Processi stocastici (6 cfu)
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
Teoria dei nodi A (6 cfu)
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
Meccanica superiore (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
Geometria algebrica F (6 cfu)
- Varietà toriche.
- Varietà toriche.
Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
Finanza matematica (6 cfu)
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
Gruppi di Coxeter (6 cfu)
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
Teoria della misura (6 cfu)
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
Geometria reale B (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
Meccanica relativistica (6 cfu)
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
Meccanica razionale (6 cfu)
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
Metodi numerici per la grafica (6 cfu)
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
Crittografia post-quantistica (6 cfu)
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
Teoria algebrica dei numeri 3 (6 cfu)
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
Algebra non commutativa (6 cfu)
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
Metodi di approssimazione (6 cfu)
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
Forme modulari (6 cfu)
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
Teoria delle funzioni (6 cfu)
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
Elementi di logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
Teoria della dimostrazione (6 cfu)
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
Geometria reale A (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
Teoria della calcolabilità (6 cfu)
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
Geometria algebrica G (6 cfu)
- Varietà algebriche di dimensione alta
- Varietà algebriche di dimensione alta
Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
Teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
Analisi armonica (6 cfu)
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
Calcolo delle variazioni A (6 cfu)
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
Analisi geometrica (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
Geometria riemanniana (6 cfu)
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
Teoria dei modelli (6 cfu)
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
Metodi di analisi armonica in analisi non lineare (6 cfu)
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
Topologia Algebrica B (6 cfu)
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
Teoria degli insiemi A (6 cfu)
- Insiemi costruibili e forcing.
- Insiemi costruibili e forcing.
Teoria degli insiemi B (6 cfu)
- Grandi cardinali.
- Grandi cardinali.
Rappresentazioni di Galois p-adiche (6 cfu)
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
2-varietà (6 cfu)
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
Algebra superiore B (6 cfu)
- Algebre e loro rappresentazioni
- Algebre e loro rappresentazioni
Matematica per l'insegnamento alla scuola secondaria di primo grado A (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Geometria e topologia differenziale (6 cfu)
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
Geometria differenziale complessa (6 cfu)
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
Matematica discreta (6 cfu)
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
Algebra superiore A (6 cfu)
- Algebra commutativa.
- Algebra commutativa.
Sistemi dinamici discreti (6 cfu)
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
Fisica matematica (6 cfu)
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
Problemi e metodi in storia della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Metodi matematici della crittografia (6 cfu)
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
Analisi dei dati (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
Equazioni iperboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
Geometria reale C (6 cfu)
- Topologia delle curve e superfici reali.
- Topologia delle curve e superfici reali.
Equazioni paraboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
Geometria algebrica A (6 cfu)
- Schemi, fasci, coomologia.
- Schemi, fasci, coomologia.
Analisi non lineare (6 cfu)
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
Matematica e musica (6 cfu)
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
Complementi di didattica della matematica (6 cfu)
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
Meccanica dei continui (6 cfu)
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
Funzioni L (6 cfu)
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
Teorie in didattica della matematica (6 cfu)
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt
- Moduli affini e integrativi
Coomologia Étale (6 cfu)
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
Metodi numerici per equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
Aspetti matematici nella computazione quantistica (6 cfu)
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
Combinatoria algebrica (6 cfu)
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
Analisi superiore A (6 cfu)
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
Geometria iperbolica (6 cfu)
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
Fondamenti della matematica (6 cfu)
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
Geometria algebrica B (6 cfu)
- Varietà complesse, metodi trascendenti
- Varietà complesse, metodi trascendenti
Analisi complessa A (6 cfu)
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
Geometria simplettica (6 cfu)
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
Determinazione orbitale (6 cfu)
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
Logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
Problemi di evoluzione (6 cfu)
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
Calcolo scientifico (6 cfu)
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
Elementi di analisi complessa (6 cfu)
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
Calcolo delle variazioni B (6 cfu)
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)
- Modelli finiti e complessità computazionale
- Modelli finiti e complessità computazionale
Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
Dinamica olomorfa (6 cfu)
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
Spazi simmetrici (6 cfu)
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
Teoria del controllo ottimo (6 cfu)
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
Funzioni speciali (6 cfu)
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
Geometria algebrica C (6 cfu)
- Curve e superfici di Riemann.
- Curve e superfici di Riemann.
Probabilità (6 cfu)
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
Onde lineari e non lineari (6 cfu)
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
Algebra lineare e multilineare (6 cfu)
- Strutture algebriche lineari.
- Strutture algebriche lineari.
Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
Geometria di contatto (6 cfu)
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
Problem solving (6 cfu)
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
Teoria dei giochi (6 cfu)
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
Complementi di analisi funzionale (6 cfu)
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
Algebra computazionale A (6 cfu)
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
Sistemi dinamici (6 cfu)
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
Statistica Superiore (6 cfu)
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
Geometria degli spazi metrici (6 cfu)
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
Analisi convessa (6 cfu)
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
Spazi di funzioni (6 cfu)
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
Topologia generale (6 cfu)
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
Probabilità superiore (6 cfu)
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
Geometria algebrica D (6 cfu)
- Tori complessi e varietà abeliane.
- Tori complessi e varietà abeliane.
Elementi di algebra computazionale (6 cfu)
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
Campi ciclotomici (6 cfu)
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
Analisi microlocale (6 cfu)
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
Elementi di geometria algebrica (6 cfu)
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
Algebra 2 (6 cfu)
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
4-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
Analisi matematica 3 (6 cfu)
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
Algebra 1 (6 cfu)
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
Teoria delle categorie (6 cfu)
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
Matematica per l’insegnamento alla scuola secondaria di primo grado B (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
Teoria dei nodi B (6 cfu)
- Invarianti non classici.
- Invarianti non classici.
Teoria dei semigruppi (6 cfu)
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
Ricerca operativa (6 cfu)
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
Analisi non standard (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
Analisi superiore B (6 cfu)
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Spazi di Sobolev (6 cfu)
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di topologia algebrica (6 cfu)
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
Tecnologie per la didattica (6 cfu)
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
Curve ellittiche (6 cfu)
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
Gruppi algebrici lineari (6 cfu)
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
Applicazioni della fluidodinamica alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
Applicazioni di equazioni differenziali alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
Teoria dei gruppi (6 cfu)
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
3-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
Fisica III (6 cfu)
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
Geometria algebrica E (6 cfu)
- Superfici algebriche.
- Superfici algebriche.
Teoria ergodica (6 cfu)
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
Teoria dei codici (6 cfu)
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
Teoria dei numeri elementare (6 cfu)
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
Geometria reale computazionale (6 cfu)
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
Topologia Algebrica A (6 cfu)
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
Superfici minime (6 cfu)
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
Analisi complessa B (6 cfu)
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
Teoria dei controlli (6 cfu)
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
Dinamica iperbolica (6 cfu)
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
Algebra omologica (6 cfu)
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
Analisi in spazi metrici (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
Topologia differenziale (6 cfu)
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
Equazioni ellittiche (6 cfu)
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
Meccanica celeste (6 cfu)
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
Elementi di meccanica celeste (6 cfu)
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
Storia della matematica (6 cfu)
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
Algebra computazionale B (6 cfu)
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
Complementi di fisica (6 cfu)
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
Statistica matematica (6 cfu)
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
Analisi reale (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
Meccanica spaziale (6 cfu)
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
Dinamica del sistema solare (6 cfu)
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
Processi stocastici (6 cfu)
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
Teoria dei nodi A (6 cfu)
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
Meccanica superiore (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
Geometria algebrica F (6 cfu)
- Varietà toriche.
- Varietà toriche.
Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
Finanza matematica (6 cfu)
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
Gruppi di Coxeter (6 cfu)
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
Teoria della misura (6 cfu)
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
Geometria reale B (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
Meccanica relativistica (6 cfu)
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
Meccanica razionale (6 cfu)
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
Metodi numerici per la grafica (6 cfu)
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
Crittografia post-quantistica (6 cfu)
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
Teoria algebrica dei numeri 3 (6 cfu)
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
Algebra non commutativa (6 cfu)
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
Metodi di approssimazione (6 cfu)
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
Forme modulari (6 cfu)
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
Teoria delle funzioni (6 cfu)
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
Elementi di logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
Teoria della dimostrazione (6 cfu)
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
Geometria reale A (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
Teoria della calcolabilità (6 cfu)
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
Geometria algebrica G (6 cfu)
- Varietà algebriche di dimensione alta
- Varietà algebriche di dimensione alta
Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
Teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
Analisi armonica (6 cfu)
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
Calcolo delle variazioni A (6 cfu)
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
Analisi geometrica (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
Geometria riemanniana (6 cfu)
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
Teoria dei modelli (6 cfu)
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
Metodi di analisi armonica in analisi non lineare (6 cfu)
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
Topologia Algebrica B (6 cfu)
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
Teoria degli insiemi A (6 cfu)
- Insiemi costruibili e forcing.
- Insiemi costruibili e forcing.
Teoria degli insiemi B (6 cfu)
- Grandi cardinali.
- Grandi cardinali.
Rappresentazioni di Galois p-adiche (6 cfu)
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
2-varietà (6 cfu)
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
Algebra superiore B (6 cfu)
- Algebre e loro rappresentazioni
- Algebre e loro rappresentazioni
Matematica per l'insegnamento alla scuola secondaria di primo grado A (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Geometria e topologia differenziale (6 cfu)
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
Geometria differenziale complessa (6 cfu)
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
Matematica discreta (6 cfu)
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
Algebra superiore A (6 cfu)
- Algebra commutativa.
- Algebra commutativa.
Sistemi dinamici discreti (6 cfu)
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
Fisica matematica (6 cfu)
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
Problemi e metodi in storia della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Metodi matematici della crittografia (6 cfu)
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
Analisi dei dati (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
Equazioni iperboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
Geometria reale C (6 cfu)
- Topologia delle curve e superfici reali.
- Topologia delle curve e superfici reali.
Equazioni paraboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
Geometria algebrica A (6 cfu)
- Schemi, fasci, coomologia.
- Schemi, fasci, coomologia.
Analisi non lineare (6 cfu)
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
Matematica e musica (6 cfu)
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
Complementi di didattica della matematica (6 cfu)
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
Meccanica dei continui (6 cfu)
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
Funzioni L (6 cfu)
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
Teorie in didattica della matematica (6 cfu)
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt
- Moduli affini e integrativi
Coomologia Étale (6 cfu)
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
Metodi numerici per equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
Aspetti matematici nella computazione quantistica (6 cfu)
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
Combinatoria algebrica (6 cfu)
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
Analisi superiore A (6 cfu)
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
Geometria iperbolica (6 cfu)
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
Fondamenti della matematica (6 cfu)
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
Geometria algebrica B (6 cfu)
- Varietà complesse, metodi trascendenti
- Varietà complesse, metodi trascendenti
Analisi complessa A (6 cfu)
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
Geometria simplettica (6 cfu)
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
Determinazione orbitale (6 cfu)
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
Logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
Problemi di evoluzione (6 cfu)
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
Calcolo scientifico (6 cfu)
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
Elementi di analisi complessa (6 cfu)
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
Calcolo delle variazioni B (6 cfu)
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)
- Modelli finiti e complessità computazionale
- Modelli finiti e complessità computazionale
Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
Dinamica olomorfa (6 cfu)
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
Spazi simmetrici (6 cfu)
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
Teoria del controllo ottimo (6 cfu)
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
Funzioni speciali (6 cfu)
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
Geometria algebrica C (6 cfu)
- Curve e superfici di Riemann.
- Curve e superfici di Riemann.
Probabilità (6 cfu)
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
Onde lineari e non lineari (6 cfu)
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
Algebra lineare e multilineare (6 cfu)
- Strutture algebriche lineari.
- Strutture algebriche lineari.
Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
Geometria di contatto (6 cfu)
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
Problem solving (6 cfu)
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
Teoria dei giochi (6 cfu)
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
Complementi di analisi funzionale (6 cfu)
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
Algebra computazionale A (6 cfu)
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
Sistemi dinamici (6 cfu)
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
Statistica Superiore (6 cfu)
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
Geometria degli spazi metrici (6 cfu)
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
Analisi convessa (6 cfu)
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
Spazi di funzioni (6 cfu)
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
Topologia generale (6 cfu)
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
Probabilità superiore (6 cfu)
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
Geometria algebrica D (6 cfu)
- Tori complessi e varietà abeliane.
- Tori complessi e varietà abeliane.
Elementi di algebra computazionale (6 cfu)
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
Campi ciclotomici (6 cfu)
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
Analisi microlocale (6 cfu)
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
Elementi di geometria algebrica (6 cfu)
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
Algebra 2 (6 cfu)
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
4-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
Analisi matematica 3 (6 cfu)
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
Algebra 1 (6 cfu)
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
Teoria delle categorie (6 cfu)
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
Matematica per l’insegnamento alla scuola secondaria di primo grado B (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
Teoria dei nodi B (6 cfu)
- Invarianti non classici.
- Invarianti non classici.
Teoria dei semigruppi (6 cfu)
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
Ricerca operativa (6 cfu)
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
Analisi non standard (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
Analisi superiore B (6 cfu)
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Spazi di Sobolev (6 cfu)
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di topologia algebrica (6 cfu)
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
Tecnologie per la didattica (6 cfu)
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
Curve ellittiche (6 cfu)
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
Gruppi algebrici lineari (6 cfu)
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
Applicazioni della fluidodinamica alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
Applicazioni di equazioni differenziali alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
Teoria dei gruppi (6 cfu)
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
3-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
Fisica III (6 cfu)
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
Geometria algebrica E (6 cfu)
- Superfici algebriche.
- Superfici algebriche.
Teoria ergodica (6 cfu)
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
Teoria dei codici (6 cfu)
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
Teoria dei numeri elementare (6 cfu)
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
Geometria reale computazionale (6 cfu)
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
Topologia Algebrica A (6 cfu)
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
Superfici minime (6 cfu)
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
Analisi complessa B (6 cfu)
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
Teoria dei controlli (6 cfu)
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
Dinamica iperbolica (6 cfu)
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
Algebra omologica (6 cfu)
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
Analisi in spazi metrici (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
Topologia differenziale (6 cfu)
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
Equazioni ellittiche (6 cfu)
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
Meccanica celeste (6 cfu)
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
Elementi di meccanica celeste (6 cfu)
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
Storia della matematica (6 cfu)
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
Algebra computazionale B (6 cfu)
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
Complementi di fisica (6 cfu)
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
Statistica matematica (6 cfu)
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
Analisi reale (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
Meccanica spaziale (6 cfu)
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
Dinamica del sistema solare (6 cfu)
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
Processi stocastici (6 cfu)
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
Teoria dei nodi A (6 cfu)
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
Meccanica superiore (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
Geometria algebrica F (6 cfu)
- Varietà toriche.
- Varietà toriche.
Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
Finanza matematica (6 cfu)
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
Gruppi di Coxeter (6 cfu)
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
Teoria della misura (6 cfu)
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
Geometria reale B (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
Meccanica relativistica (6 cfu)
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
Meccanica razionale (6 cfu)
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
Metodi numerici per la grafica (6 cfu)
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
Crittografia post-quantistica (6 cfu)
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
Teoria algebrica dei numeri 3 (6 cfu)
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
Algebra non commutativa (6 cfu)
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
Metodi di approssimazione (6 cfu)
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
Forme modulari (6 cfu)
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
Teoria delle funzioni (6 cfu)
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
Elementi di logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
Teoria della dimostrazione (6 cfu)
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
Geometria reale A (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
Teoria della calcolabilità (6 cfu)
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
Geometria algebrica G (6 cfu)
- Varietà algebriche di dimensione alta
- Varietà algebriche di dimensione alta
Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
Teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
Analisi armonica (6 cfu)
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
Calcolo delle variazioni A (6 cfu)
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
Analisi geometrica (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
Geometria riemanniana (6 cfu)
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
Teoria dei modelli (6 cfu)
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
Metodi di analisi armonica in analisi non lineare (6 cfu)
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
Topologia Algebrica B (6 cfu)
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
Teoria degli insiemi A (6 cfu)
- Insiemi costruibili e forcing.
- Insiemi costruibili e forcing.
Teoria degli insiemi B (6 cfu)
- Grandi cardinali.
- Grandi cardinali.
Rappresentazioni di Galois p-adiche (6 cfu)
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
2-varietà (6 cfu)
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
Algebra superiore B (6 cfu)
- Algebre e loro rappresentazioni
- Algebre e loro rappresentazioni
Matematica per l'insegnamento alla scuola secondaria di primo grado A (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Geometria e topologia differenziale (6 cfu)
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
Geometria differenziale complessa (6 cfu)
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
Matematica discreta (6 cfu)
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
Algebra superiore A (6 cfu)
- Algebra commutativa.
- Algebra commutativa.
Sistemi dinamici discreti (6 cfu)
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
Fisica matematica (6 cfu)
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
Problemi e metodi in storia della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Metodi matematici della crittografia (6 cfu)
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
Analisi dei dati (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
Equazioni iperboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
Geometria reale C (6 cfu)
- Topologia delle curve e superfici reali.
- Topologia delle curve e superfici reali.
Equazioni paraboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
Geometria algebrica A (6 cfu)
- Schemi, fasci, coomologia.
- Schemi, fasci, coomologia.
Analisi non lineare (6 cfu)
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
Matematica e musica (6 cfu)
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
Complementi di didattica della matematica (6 cfu)
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
Meccanica dei continui (6 cfu)
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
Funzioni L (6 cfu)
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
Teorie in didattica della matematica (6 cfu)
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
A scelta dello studente (6 cfu)
- Qualsiasi insegnamento attivato nell'Ateneo, purché coerente con il progetto formativo. La coerenza delle attività scelte dallo studente con il progetto formativo deve essere approvata dal Consiglio di Corso di Studio, anche tenendo conto degli specifici interessi culturali e di sviluppo di carriera dello studente.
- Qualsiasi insegnamento attivato nell'Ateneo, purché coerente con il progetto formativo. La coerenza delle attività scelte dallo studente con il progetto formativo deve essere approvata dal Consiglio di Corso di Studio, anche tenendo conto degli specifici interessi culturali e di sviluppo di carriera dello studente.
Istituzioni di analisi matematica (11 cfu)
- Spazi di Banach e Hilbert. Operatori lineari, completezza, convessità, dualità, teoria spettrale per operatori compatti su spazi di Hilbert ed applicazioni al problema di Sturm. Spazi di distribuzioni. Trasformata di Fourier di distribuzioni. Spazi di Sobolev, immersioni di Sobolev, compattezza e teorema di traccia.
- Spazi di Banach e Hilbert. Operatori lineari, completezza, convessità, dualità, teoria spettrale per operatori compatti su spazi di Hilbert ed applicazioni al problema di Sturm. Spazi di distribuzioni. Trasformata di Fourier di distribuzioni. Spazi di Sobolev, immersioni di Sobolev, compattezza e teorema di traccia.
Istituzioni di algebra (11 cfu)
- Localizzazione di anelli e moduli, anelli e moduli noetheriani ed artiniani, decomposizione primaria, estensioni intere, domini di Dedekind, valutazioni ed anelli di valutazione, completamenti, dimensione e polinomio di Hilbert. Algebra Omologica.
- Localizzazione di anelli e moduli, anelli e moduli noetheriani ed artiniani, decomposizione primaria, estensioni intere, domini di Dedekind, valutazioni ed anelli di valutazione, completamenti, dimensione e polinomio di Hilbert. Algebra Omologica.
6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt
- Moduli affini e integrativi
Coomologia Étale (6 cfu)
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
Metodi numerici per equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
Aspetti matematici nella computazione quantistica (6 cfu)
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
Combinatoria algebrica (6 cfu)
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
Analisi superiore A (6 cfu)
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
Geometria iperbolica (6 cfu)
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
Fondamenti della matematica (6 cfu)
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
Geometria algebrica B (6 cfu)
- Varietà complesse, metodi trascendenti
- Varietà complesse, metodi trascendenti
Analisi complessa A (6 cfu)
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
Geometria simplettica (6 cfu)
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
Determinazione orbitale (6 cfu)
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
Logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
Problemi di evoluzione (6 cfu)
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
Calcolo scientifico (6 cfu)
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
Elementi di analisi complessa (6 cfu)
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
Calcolo delle variazioni B (6 cfu)
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)
- Modelli finiti e complessità computazionale
- Modelli finiti e complessità computazionale
Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
Dinamica olomorfa (6 cfu)
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
Spazi simmetrici (6 cfu)
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
Teoria del controllo ottimo (6 cfu)
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
Funzioni speciali (6 cfu)
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
Geometria algebrica C (6 cfu)
- Curve e superfici di Riemann.
- Curve e superfici di Riemann.
Probabilità (6 cfu)
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
Onde lineari e non lineari (6 cfu)
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
Algebra lineare e multilineare (6 cfu)
- Strutture algebriche lineari.
- Strutture algebriche lineari.
Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
Geometria di contatto (6 cfu)
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
Problem solving (6 cfu)
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
Teoria dei giochi (6 cfu)
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
Complementi di analisi funzionale (6 cfu)
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
Algebra computazionale A (6 cfu)
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
Sistemi dinamici (6 cfu)
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
Statistica Superiore (6 cfu)
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
Geometria degli spazi metrici (6 cfu)
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
Analisi convessa (6 cfu)
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
Spazi di funzioni (6 cfu)
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
Topologia generale (6 cfu)
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
Probabilità superiore (6 cfu)
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
Geometria algebrica D (6 cfu)
- Tori complessi e varietà abeliane.
- Tori complessi e varietà abeliane.
Elementi di algebra computazionale (6 cfu)
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
Campi ciclotomici (6 cfu)
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
Analisi microlocale (6 cfu)
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
Elementi di geometria algebrica (6 cfu)
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
Algebra 2 (6 cfu)
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
4-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
Analisi matematica 3 (6 cfu)
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
Algebra 1 (6 cfu)
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
Teoria delle categorie (6 cfu)
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
Matematica per l’insegnamento alla scuola secondaria di primo grado B (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
Teoria dei nodi B (6 cfu)
- Invarianti non classici.
- Invarianti non classici.
Teoria dei semigruppi (6 cfu)
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
Ricerca operativa (6 cfu)
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
Analisi non standard (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
Analisi superiore B (6 cfu)
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Spazi di Sobolev (6 cfu)
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di topologia algebrica (6 cfu)
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
Tecnologie per la didattica (6 cfu)
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
Curve ellittiche (6 cfu)
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
Gruppi algebrici lineari (6 cfu)
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
Applicazioni della fluidodinamica alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
Applicazioni di equazioni differenziali alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
Teoria dei gruppi (6 cfu)
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
3-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
Fisica III (6 cfu)
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
Geometria algebrica E (6 cfu)
- Superfici algebriche.
- Superfici algebriche.
Teoria ergodica (6 cfu)
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
Teoria dei codici (6 cfu)
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
Teoria dei numeri elementare (6 cfu)
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
Geometria reale computazionale (6 cfu)
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
Topologia Algebrica A (6 cfu)
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
Superfici minime (6 cfu)
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
Analisi complessa B (6 cfu)
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
Teoria dei controlli (6 cfu)
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
Dinamica iperbolica (6 cfu)
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
Algebra omologica (6 cfu)
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
Analisi in spazi metrici (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
Topologia differenziale (6 cfu)
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
Equazioni ellittiche (6 cfu)
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
Meccanica celeste (6 cfu)
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
Elementi di meccanica celeste (6 cfu)
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
Storia della matematica (6 cfu)
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
Algebra computazionale B (6 cfu)
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
Complementi di fisica (6 cfu)
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
Statistica matematica (6 cfu)
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
Analisi reale (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
Meccanica spaziale (6 cfu)
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
Dinamica del sistema solare (6 cfu)
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
Processi stocastici (6 cfu)
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
Teoria dei nodi A (6 cfu)
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
Meccanica superiore (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
Geometria algebrica F (6 cfu)
- Varietà toriche.
- Varietà toriche.
Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
Finanza matematica (6 cfu)
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
Gruppi di Coxeter (6 cfu)
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
Teoria della misura (6 cfu)
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
Geometria reale B (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
Meccanica relativistica (6 cfu)
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
Meccanica razionale (6 cfu)
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
Metodi numerici per la grafica (6 cfu)
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
Crittografia post-quantistica (6 cfu)
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
Teoria algebrica dei numeri 3 (6 cfu)
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
Algebra non commutativa (6 cfu)
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
Metodi di approssimazione (6 cfu)
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
Forme modulari (6 cfu)
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
Teoria delle funzioni (6 cfu)
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
Elementi di logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
Teoria della dimostrazione (6 cfu)
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
Geometria reale A (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
Teoria della calcolabilità (6 cfu)
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
Geometria algebrica G (6 cfu)
- Varietà algebriche di dimensione alta
- Varietà algebriche di dimensione alta
Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
Teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
Analisi armonica (6 cfu)
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
Calcolo delle variazioni A (6 cfu)
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
Analisi geometrica (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
Geometria riemanniana (6 cfu)
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
Teoria dei modelli (6 cfu)
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
Metodi di analisi armonica in analisi non lineare (6 cfu)
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
Topologia Algebrica B (6 cfu)
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
Teoria degli insiemi A (6 cfu)
- Insiemi costruibili e forcing.
- Insiemi costruibili e forcing.
Teoria degli insiemi B (6 cfu)
- Grandi cardinali.
- Grandi cardinali.
Rappresentazioni di Galois p-adiche (6 cfu)
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
2-varietà (6 cfu)
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
Algebra superiore B (6 cfu)
- Algebre e loro rappresentazioni
- Algebre e loro rappresentazioni
Matematica per l'insegnamento alla scuola secondaria di primo grado A (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Geometria e topologia differenziale (6 cfu)
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
Geometria differenziale complessa (6 cfu)
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
Matematica discreta (6 cfu)
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
Algebra superiore A (6 cfu)
- Algebra commutativa.
- Algebra commutativa.
Sistemi dinamici discreti (6 cfu)
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
Fisica matematica (6 cfu)
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
Problemi e metodi in storia della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Metodi matematici della crittografia (6 cfu)
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
Analisi dei dati (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
Equazioni iperboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
Geometria reale C (6 cfu)
- Topologia delle curve e superfici reali.
- Topologia delle curve e superfici reali.
Equazioni paraboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
Geometria algebrica A (6 cfu)
- Schemi, fasci, coomologia.
- Schemi, fasci, coomologia.
Analisi non lineare (6 cfu)
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
Matematica e musica (6 cfu)
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
Complementi di didattica della matematica (6 cfu)
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
Meccanica dei continui (6 cfu)
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
Funzioni L (6 cfu)
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
Teorie in didattica della matematica (6 cfu)
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
6 cfu a scelta nel gruppo ModAppl
- Moduli applicativi
Metodi numerici per equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
Aspetti matematici nella computazione quantistica (6 cfu)
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
Determinazione orbitale (6 cfu)
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
Calcolo scientifico (6 cfu)
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
Probabilità (6 cfu)
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
Teoria dei giochi (6 cfu)
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
Sistemi dinamici (6 cfu)
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
Statistica Superiore (6 cfu)
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
Ricerca operativa (6 cfu)
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
Meccanica celeste (6 cfu)
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
Elementi di meccanica celeste (6 cfu)
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
Statistica matematica (6 cfu)
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
Meccanica spaziale (6 cfu)
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
Dinamica del sistema solare (6 cfu)
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
Meccanica superiore (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
Meccanica razionale (6 cfu)
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
Metodi numerici per la grafica (6 cfu)
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
Metodi di approssimazione (6 cfu)
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
Fisica matematica (6 cfu)
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
Analisi dei dati (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
6 cfu a scelta nel gruppo ModTeor
- Moduli teorici
Combinatoria algebrica (6 cfu)
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
Analisi superiore A (6 cfu)
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
Geometria iperbolica (6 cfu)
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
Geometria algebrica B (6 cfu)
- Varietà complesse, metodi trascendenti
- Varietà complesse, metodi trascendenti
Analisi complessa A (6 cfu)
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
Logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
Problemi di evoluzione (6 cfu)
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
Elementi di analisi complessa (6 cfu)
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
Dinamica olomorfa (6 cfu)
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
Geometria algebrica C (6 cfu)
- Curve e superfici di Riemann.
- Curve e superfici di Riemann.
Algebra computazionale A (6 cfu)
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
Analisi convessa (6 cfu)
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di algebra computazionale (6 cfu)
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
Elementi di geometria algebrica (6 cfu)
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
Algebra 2 (6 cfu)
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
Analisi matematica 3 (6 cfu)
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
Teoria dei nodi B (6 cfu)
- Invarianti non classici.
- Invarianti non classici.
Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
Analisi superiore B (6 cfu)
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
Spazi di Sobolev (6 cfu)
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di topologia algebrica (6 cfu)
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
3-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
Teoria dei numeri elementare (6 cfu)
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
Topologia Algebrica A (6 cfu)
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
Teoria dei controlli (6 cfu)
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
Topologia differenziale (6 cfu)
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
Equazioni ellittiche (6 cfu)
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
Algebra computazionale B (6 cfu)
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
Teoria dei nodi A (6 cfu)
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
Teoria della misura (6 cfu)
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
Geometria reale B (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
Geometria reale A (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
Analisi armonica (6 cfu)
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
Calcolo delle variazioni A (6 cfu)
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
Geometria riemanniana (6 cfu)
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
Teoria dei modelli (6 cfu)
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
Topologia Algebrica B (6 cfu)
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
Teoria degli insiemi A (6 cfu)
- Insiemi costruibili e forcing.
- Insiemi costruibili e forcing.
Teoria degli insiemi B (6 cfu)
- Grandi cardinali.
- Grandi cardinali.
Algebra superiore B (6 cfu)
- Algebre e loro rappresentazioni
- Algebre e loro rappresentazioni
Geometria e topologia differenziale (6 cfu)
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
Geometria differenziale complessa (6 cfu)
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
Algebra superiore A (6 cfu)
- Algebra commutativa.
- Algebra commutativa.
Equazioni iperboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
Geometria algebrica A (6 cfu)
- Schemi, fasci, coomologia.
- Schemi, fasci, coomologia.
Analisi non lineare (6 cfu)
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
6 cfu a scelta nel gruppo ModTeor
- Moduli teorici
Combinatoria algebrica (6 cfu)
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
Analisi superiore A (6 cfu)
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
Geometria iperbolica (6 cfu)
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
Geometria algebrica B (6 cfu)
- Varietà complesse, metodi trascendenti
- Varietà complesse, metodi trascendenti
Analisi complessa A (6 cfu)
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
Logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
Problemi di evoluzione (6 cfu)
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
Elementi di analisi complessa (6 cfu)
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
Dinamica olomorfa (6 cfu)
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
Geometria algebrica C (6 cfu)
- Curve e superfici di Riemann.
- Curve e superfici di Riemann.
Algebra computazionale A (6 cfu)
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
Analisi convessa (6 cfu)
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di algebra computazionale (6 cfu)
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
Elementi di geometria algebrica (6 cfu)
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
Algebra 2 (6 cfu)
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
Analisi matematica 3 (6 cfu)
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
Teoria dei nodi B (6 cfu)
- Invarianti non classici.
- Invarianti non classici.
Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
Analisi superiore B (6 cfu)
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
Spazi di Sobolev (6 cfu)
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di topologia algebrica (6 cfu)
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
3-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
Teoria dei numeri elementare (6 cfu)
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
Topologia Algebrica A (6 cfu)
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
Teoria dei controlli (6 cfu)
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
Topologia differenziale (6 cfu)
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
Equazioni ellittiche (6 cfu)
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
Algebra computazionale B (6 cfu)
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
Teoria dei nodi A (6 cfu)
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
Teoria della misura (6 cfu)
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
Geometria reale B (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
Geometria reale A (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
Analisi armonica (6 cfu)
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
Calcolo delle variazioni A (6 cfu)
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
Geometria riemanniana (6 cfu)
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
Teoria dei modelli (6 cfu)
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
Topologia Algebrica B (6 cfu)
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
Teoria degli insiemi A (6 cfu)
- Insiemi costruibili e forcing.
- Insiemi costruibili e forcing.
Teoria degli insiemi B (6 cfu)
- Grandi cardinali.
- Grandi cardinali.
Algebra superiore B (6 cfu)
- Algebre e loro rappresentazioni
- Algebre e loro rappresentazioni
Geometria e topologia differenziale (6 cfu)
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
Geometria differenziale complessa (6 cfu)
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
Algebra superiore A (6 cfu)
- Algebra commutativa.
- Algebra commutativa.
Equazioni iperboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
Geometria algebrica A (6 cfu)
- Schemi, fasci, coomologia.
- Schemi, fasci, coomologia.
Analisi non lineare (6 cfu)
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
6 cfu a scelta nel gruppo ModTeor
- Moduli teorici
Combinatoria algebrica (6 cfu)
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
Analisi superiore A (6 cfu)
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
Geometria iperbolica (6 cfu)
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
Geometria algebrica B (6 cfu)
- Varietà complesse, metodi trascendenti
- Varietà complesse, metodi trascendenti
Analisi complessa A (6 cfu)
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
Logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
Problemi di evoluzione (6 cfu)
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
Elementi di analisi complessa (6 cfu)
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
Dinamica olomorfa (6 cfu)
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
Geometria algebrica C (6 cfu)
- Curve e superfici di Riemann.
- Curve e superfici di Riemann.
Algebra computazionale A (6 cfu)
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
Analisi convessa (6 cfu)
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di algebra computazionale (6 cfu)
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
Elementi di geometria algebrica (6 cfu)
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
Algebra 2 (6 cfu)
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
Analisi matematica 3 (6 cfu)
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
Teoria dei nodi B (6 cfu)
- Invarianti non classici.
- Invarianti non classici.
Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
Analisi superiore B (6 cfu)
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
Spazi di Sobolev (6 cfu)
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di topologia algebrica (6 cfu)
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
3-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
Teoria dei numeri elementare (6 cfu)
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
Topologia Algebrica A (6 cfu)
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
Teoria dei controlli (6 cfu)
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
Topologia differenziale (6 cfu)
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
Equazioni ellittiche (6 cfu)
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
Algebra computazionale B (6 cfu)
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
Teoria dei nodi A (6 cfu)
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
Teoria della misura (6 cfu)
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
Geometria reale B (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
Geometria reale A (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
Analisi armonica (6 cfu)
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
Calcolo delle variazioni A (6 cfu)
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
Geometria riemanniana (6 cfu)
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
Teoria dei modelli (6 cfu)
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
Topologia Algebrica B (6 cfu)
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
Teoria degli insiemi A (6 cfu)
- Insiemi costruibili e forcing.
- Insiemi costruibili e forcing.
Teoria degli insiemi B (6 cfu)
- Grandi cardinali.
- Grandi cardinali.
Algebra superiore B (6 cfu)
- Algebre e loro rappresentazioni
- Algebre e loro rappresentazioni
Geometria e topologia differenziale (6 cfu)
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
Geometria differenziale complessa (6 cfu)
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
Algebra superiore A (6 cfu)
- Algebra commutativa.
- Algebra commutativa.
Equazioni iperboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
Geometria algebrica A (6 cfu)
- Schemi, fasci, coomologia.
- Schemi, fasci, coomologia.
Analisi non lineare (6 cfu)
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
Istituzioni di geometria (11 cfu)
- Calcolo differenziale globale; coomologia di de Rham; connessioni e curvature; rudimenti di gruppi di Lie.
- Calcolo differenziale globale; coomologia di de Rham; connessioni e curvature; rudimenti di gruppi di Lie.
A scelta dello studente (6 cfu)
- Qualsiasi insegnamento attivato nell'Ateneo, purché coerente con il progetto formativo. La coerenza delle attività scelte dallo studente con il progetto formativo deve essere approvata dal Consiglio di Corso di Studio, anche tenendo conto degli specifici interessi culturali e di sviluppo di carriera dello studente.
- Qualsiasi insegnamento attivato nell'Ateneo, purché coerente con il progetto formativo. La coerenza delle attività scelte dallo studente con il progetto formativo deve essere approvata dal Consiglio di Corso di Studio, anche tenendo conto degli specifici interessi culturali e di sviluppo di carriera dello studente.
Prova finale (27 cfu)
- La prova finale del corso di Laurea Magistrale in Matematica consiste nella stesura di una tesi (in italiano o in inglese) elaborata in modo originale dallo studente con l’assistenza di almeno un docente (relatore), eventualmente esterno al corso di studi, e in una esposizione orale conclusiva del lavoro svolto. La prova finale verrà valutata in base alla originalità dei risultati, alla padronanza dell’argomento, all’autonomia e alle capacità espositiva e di ricerca bibliografica mostrate dal candidato. La redazione della tesi può eventualmente avvenire anche all’interno di un tirocinio formativo (stage) presso aziende o laboratori esterni, o durante soggiorni di studio presso altre università italiane ed estere, anche nel quadro di accordi internazionali.
Alla prova finale sono attribuiti 27 CFU, di cui 1 CFU corrispondente a ulteriori attività formative utili per l’inserimento nel mondo del lavoro.
Nomina del controrelatore.
La tesi dev’essere esaminata anche da un controrelatore, che produrrà un parere da presentare in fase
di discussione finale. Se il relatore è esterno al dipartimento di Matematica dell’Università di Pisa, allora il controrelatore dev’essere scelto fra i docenti afferenti al dipartimento di Matematica dell’Università di Pisa. La nomina del controrelatore spetta al presidente di corso di laurea magistrale in Matematica, partendo (ma non necessariamente limitandosi a) uno o più nominativi che devono essere suggeriti dal relatore con almeno un mese d’anticipo sulla sessione di laurea in cui sarà discussa la tesi.
- La prova finale del corso di Laurea Magistrale in Matematica consiste nella stesura di una tesi (in italiano o in inglese) elaborata in modo originale dallo studente con l’assistenza di almeno un docente (relatore), eventualmente esterno al corso di studi, e in una esposizione orale conclusiva del lavoro svolto. La prova finale verrà valutata in base alla originalità dei risultati, alla padronanza dell’argomento, all’autonomia e alle capacità espositiva e di ricerca bibliografica mostrate dal candidato. La redazione della tesi può eventualmente avvenire anche all’interno di un tirocinio formativo (stage) presso aziende o laboratori esterni, o durante soggiorni di studio presso altre università italiane ed estere, anche nel quadro di accordi internazionali.
6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt
- Moduli affini e integrativi
Coomologia Étale (6 cfu)
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
Metodi numerici per equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
Aspetti matematici nella computazione quantistica (6 cfu)
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
Combinatoria algebrica (6 cfu)
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
Analisi superiore A (6 cfu)
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
Geometria iperbolica (6 cfu)
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
Fondamenti della matematica (6 cfu)
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
Geometria algebrica B (6 cfu)
- Varietà complesse, metodi trascendenti
- Varietà complesse, metodi trascendenti
Analisi complessa A (6 cfu)
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
Geometria simplettica (6 cfu)
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
Determinazione orbitale (6 cfu)
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
Logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
Problemi di evoluzione (6 cfu)
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
Calcolo scientifico (6 cfu)
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
Elementi di analisi complessa (6 cfu)
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
Calcolo delle variazioni B (6 cfu)
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)
- Modelli finiti e complessità computazionale
- Modelli finiti e complessità computazionale
Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
Dinamica olomorfa (6 cfu)
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
Spazi simmetrici (6 cfu)
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
Teoria del controllo ottimo (6 cfu)
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
Funzioni speciali (6 cfu)
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
Geometria algebrica C (6 cfu)
- Curve e superfici di Riemann.
- Curve e superfici di Riemann.
Probabilità (6 cfu)
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
Onde lineari e non lineari (6 cfu)
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
Algebra lineare e multilineare (6 cfu)
- Strutture algebriche lineari.
- Strutture algebriche lineari.
Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
Geometria di contatto (6 cfu)
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
Problem solving (6 cfu)
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
Teoria dei giochi (6 cfu)
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
Complementi di analisi funzionale (6 cfu)
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
Algebra computazionale A (6 cfu)
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
Sistemi dinamici (6 cfu)
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
Statistica Superiore (6 cfu)
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
Geometria degli spazi metrici (6 cfu)
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
Analisi convessa (6 cfu)
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
Spazi di funzioni (6 cfu)
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
Topologia generale (6 cfu)
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
Probabilità superiore (6 cfu)
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
Geometria algebrica D (6 cfu)
- Tori complessi e varietà abeliane.
- Tori complessi e varietà abeliane.
Elementi di algebra computazionale (6 cfu)
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
Campi ciclotomici (6 cfu)
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
Analisi microlocale (6 cfu)
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
Elementi di geometria algebrica (6 cfu)
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
Algebra 2 (6 cfu)
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
4-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
Analisi matematica 3 (6 cfu)
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
Algebra 1 (6 cfu)
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
Teoria delle categorie (6 cfu)
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
Matematica per l’insegnamento alla scuola secondaria di primo grado B (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
Teoria dei nodi B (6 cfu)
- Invarianti non classici.
- Invarianti non classici.
Teoria dei semigruppi (6 cfu)
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
Ricerca operativa (6 cfu)
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
Analisi non standard (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
Analisi superiore B (6 cfu)
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Spazi di Sobolev (6 cfu)
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di topologia algebrica (6 cfu)
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
Tecnologie per la didattica (6 cfu)
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
Curve ellittiche (6 cfu)
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
Gruppi algebrici lineari (6 cfu)
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
Applicazioni della fluidodinamica alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
Applicazioni di equazioni differenziali alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
Teoria dei gruppi (6 cfu)
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
3-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
Fisica III (6 cfu)
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
Geometria algebrica E (6 cfu)
- Superfici algebriche.
- Superfici algebriche.
Teoria ergodica (6 cfu)
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
Teoria dei codici (6 cfu)
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
Teoria dei numeri elementare (6 cfu)
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
Geometria reale computazionale (6 cfu)
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
Topologia Algebrica A (6 cfu)
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
Superfici minime (6 cfu)
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
Analisi complessa B (6 cfu)
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
Teoria dei controlli (6 cfu)
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
Dinamica iperbolica (6 cfu)
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
Algebra omologica (6 cfu)
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
Analisi in spazi metrici (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
Topologia differenziale (6 cfu)
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
Equazioni ellittiche (6 cfu)
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
Meccanica celeste (6 cfu)
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
Elementi di meccanica celeste (6 cfu)
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
Storia della matematica (6 cfu)
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
Algebra computazionale B (6 cfu)
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
Complementi di fisica (6 cfu)
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
Statistica matematica (6 cfu)
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
Analisi reale (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
Meccanica spaziale (6 cfu)
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
Dinamica del sistema solare (6 cfu)
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
Processi stocastici (6 cfu)
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
Teoria dei nodi A (6 cfu)
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
Meccanica superiore (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
Geometria algebrica F (6 cfu)
- Varietà toriche.
- Varietà toriche.
Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
Finanza matematica (6 cfu)
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
Gruppi di Coxeter (6 cfu)
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
Teoria della misura (6 cfu)
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
Geometria reale B (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
Meccanica relativistica (6 cfu)
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
Meccanica razionale (6 cfu)
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
Metodi numerici per la grafica (6 cfu)
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
Crittografia post-quantistica (6 cfu)
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
Teoria algebrica dei numeri 3 (6 cfu)
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
Algebra non commutativa (6 cfu)
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
Metodi di approssimazione (6 cfu)
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
Forme modulari (6 cfu)
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
Teoria delle funzioni (6 cfu)
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
Elementi di logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
Teoria della dimostrazione (6 cfu)
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
Geometria reale A (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
Teoria della calcolabilità (6 cfu)
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
Geometria algebrica G (6 cfu)
- Varietà algebriche di dimensione alta
- Varietà algebriche di dimensione alta
Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
Teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
Analisi armonica (6 cfu)
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
Calcolo delle variazioni A (6 cfu)
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
Analisi geometrica (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
Geometria riemanniana (6 cfu)
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
Teoria dei modelli (6 cfu)
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
Metodi di analisi armonica in analisi non lineare (6 cfu)
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
Topologia Algebrica B (6 cfu)
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
Teoria degli insiemi A (6 cfu)
- Insiemi costruibili e forcing.
- Insiemi costruibili e forcing.
Teoria degli insiemi B (6 cfu)
- Grandi cardinali.
- Grandi cardinali.
Rappresentazioni di Galois p-adiche (6 cfu)
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
2-varietà (6 cfu)
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
Algebra superiore B (6 cfu)
- Algebre e loro rappresentazioni
- Algebre e loro rappresentazioni
Matematica per l'insegnamento alla scuola secondaria di primo grado A (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Geometria e topologia differenziale (6 cfu)
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
Geometria differenziale complessa (6 cfu)
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
Matematica discreta (6 cfu)
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
Algebra superiore A (6 cfu)
- Algebra commutativa.
- Algebra commutativa.
Sistemi dinamici discreti (6 cfu)
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
Fisica matematica (6 cfu)
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
Problemi e metodi in storia della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Metodi matematici della crittografia (6 cfu)
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
Analisi dei dati (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
Equazioni iperboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
Geometria reale C (6 cfu)
- Topologia delle curve e superfici reali.
- Topologia delle curve e superfici reali.
Equazioni paraboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
Geometria algebrica A (6 cfu)
- Schemi, fasci, coomologia.
- Schemi, fasci, coomologia.
Analisi non lineare (6 cfu)
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
Matematica e musica (6 cfu)
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
Complementi di didattica della matematica (6 cfu)
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
Meccanica dei continui (6 cfu)
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
Funzioni L (6 cfu)
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
Teorie in didattica della matematica (6 cfu)
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt
- Moduli affini e integrativi
Coomologia Étale (6 cfu)
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
Metodi numerici per equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
Aspetti matematici nella computazione quantistica (6 cfu)
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
Combinatoria algebrica (6 cfu)
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
Analisi superiore A (6 cfu)
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
Geometria iperbolica (6 cfu)
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
Fondamenti della matematica (6 cfu)
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
Geometria algebrica B (6 cfu)
- Varietà complesse, metodi trascendenti
- Varietà complesse, metodi trascendenti
Analisi complessa A (6 cfu)
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
Geometria simplettica (6 cfu)
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
Determinazione orbitale (6 cfu)
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
Logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
Problemi di evoluzione (6 cfu)
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
Calcolo scientifico (6 cfu)
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
Elementi di analisi complessa (6 cfu)
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
Calcolo delle variazioni B (6 cfu)
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)
- Modelli finiti e complessità computazionale
- Modelli finiti e complessità computazionale
Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
Dinamica olomorfa (6 cfu)
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
Spazi simmetrici (6 cfu)
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
Teoria del controllo ottimo (6 cfu)
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
Funzioni speciali (6 cfu)
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
Geometria algebrica C (6 cfu)
- Curve e superfici di Riemann.
- Curve e superfici di Riemann.
Probabilità (6 cfu)
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
Onde lineari e non lineari (6 cfu)
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
Algebra lineare e multilineare (6 cfu)
- Strutture algebriche lineari.
- Strutture algebriche lineari.
Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
Geometria di contatto (6 cfu)
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
Problem solving (6 cfu)
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
Teoria dei giochi (6 cfu)
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
Complementi di analisi funzionale (6 cfu)
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
Algebra computazionale A (6 cfu)
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
Sistemi dinamici (6 cfu)
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
Statistica Superiore (6 cfu)
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
Geometria degli spazi metrici (6 cfu)
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
Analisi convessa (6 cfu)
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
Spazi di funzioni (6 cfu)
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
Topologia generale (6 cfu)
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
Probabilità superiore (6 cfu)
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
Geometria algebrica D (6 cfu)
- Tori complessi e varietà abeliane.
- Tori complessi e varietà abeliane.
Elementi di algebra computazionale (6 cfu)
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
Campi ciclotomici (6 cfu)
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
Analisi microlocale (6 cfu)
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
Elementi di geometria algebrica (6 cfu)
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
Algebra 2 (6 cfu)
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
4-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
Analisi matematica 3 (6 cfu)
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
Algebra 1 (6 cfu)
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
Teoria delle categorie (6 cfu)
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
Matematica per l’insegnamento alla scuola secondaria di primo grado B (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
Teoria dei nodi B (6 cfu)
- Invarianti non classici.
- Invarianti non classici.
Teoria dei semigruppi (6 cfu)
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
Ricerca operativa (6 cfu)
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
Analisi non standard (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
Analisi superiore B (6 cfu)
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Spazi di Sobolev (6 cfu)
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di topologia algebrica (6 cfu)
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
Tecnologie per la didattica (6 cfu)
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
Curve ellittiche (6 cfu)
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
Gruppi algebrici lineari (6 cfu)
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
Applicazioni della fluidodinamica alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
Applicazioni di equazioni differenziali alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
Teoria dei gruppi (6 cfu)
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
3-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
Fisica III (6 cfu)
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
Geometria algebrica E (6 cfu)
- Superfici algebriche.
- Superfici algebriche.
Teoria ergodica (6 cfu)
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
Teoria dei codici (6 cfu)
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
Teoria dei numeri elementare (6 cfu)
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
Geometria reale computazionale (6 cfu)
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
Topologia Algebrica A (6 cfu)
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
Superfici minime (6 cfu)
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
Analisi complessa B (6 cfu)
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
Teoria dei controlli (6 cfu)
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
Dinamica iperbolica (6 cfu)
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
Algebra omologica (6 cfu)
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
Analisi in spazi metrici (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
Topologia differenziale (6 cfu)
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
Equazioni ellittiche (6 cfu)
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
Meccanica celeste (6 cfu)
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
Elementi di meccanica celeste (6 cfu)
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
Storia della matematica (6 cfu)
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
Algebra computazionale B (6 cfu)
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
Complementi di fisica (6 cfu)
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
Statistica matematica (6 cfu)
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
Analisi reale (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
Meccanica spaziale (6 cfu)
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
Dinamica del sistema solare (6 cfu)
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
Processi stocastici (6 cfu)
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
Teoria dei nodi A (6 cfu)
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
Meccanica superiore (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
Geometria algebrica F (6 cfu)
- Varietà toriche.
- Varietà toriche.
Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
Finanza matematica (6 cfu)
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
Gruppi di Coxeter (6 cfu)
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
Teoria della misura (6 cfu)
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
Geometria reale B (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
Meccanica relativistica (6 cfu)
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
Meccanica razionale (6 cfu)
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
Metodi numerici per la grafica (6 cfu)
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
Crittografia post-quantistica (6 cfu)
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
Teoria algebrica dei numeri 3 (6 cfu)
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
Algebra non commutativa (6 cfu)
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
Metodi di approssimazione (6 cfu)
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
Forme modulari (6 cfu)
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
Teoria delle funzioni (6 cfu)
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
Elementi di logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
Teoria della dimostrazione (6 cfu)
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
Geometria reale A (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
Teoria della calcolabilità (6 cfu)
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
Geometria algebrica G (6 cfu)
- Varietà algebriche di dimensione alta
- Varietà algebriche di dimensione alta
Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
Teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
Analisi armonica (6 cfu)
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
Calcolo delle variazioni A (6 cfu)
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
Analisi geometrica (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
Geometria riemanniana (6 cfu)
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
Teoria dei modelli (6 cfu)
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
Metodi di analisi armonica in analisi non lineare (6 cfu)
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
Topologia Algebrica B (6 cfu)
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
Teoria degli insiemi A (6 cfu)
- Insiemi costruibili e forcing.
- Insiemi costruibili e forcing.
Teoria degli insiemi B (6 cfu)
- Grandi cardinali.
- Grandi cardinali.
Rappresentazioni di Galois p-adiche (6 cfu)
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
2-varietà (6 cfu)
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
Algebra superiore B (6 cfu)
- Algebre e loro rappresentazioni
- Algebre e loro rappresentazioni
Matematica per l'insegnamento alla scuola secondaria di primo grado A (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Geometria e topologia differenziale (6 cfu)
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
Geometria differenziale complessa (6 cfu)
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
Matematica discreta (6 cfu)
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
Algebra superiore A (6 cfu)
- Algebra commutativa.
- Algebra commutativa.
Sistemi dinamici discreti (6 cfu)
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
Fisica matematica (6 cfu)
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
Problemi e metodi in storia della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Metodi matematici della crittografia (6 cfu)
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
Analisi dei dati (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
Equazioni iperboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
Geometria reale C (6 cfu)
- Topologia delle curve e superfici reali.
- Topologia delle curve e superfici reali.
Equazioni paraboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
Geometria algebrica A (6 cfu)
- Schemi, fasci, coomologia.
- Schemi, fasci, coomologia.
Analisi non lineare (6 cfu)
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
Matematica e musica (6 cfu)
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
Complementi di didattica della matematica (6 cfu)
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
Meccanica dei continui (6 cfu)
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
Funzioni L (6 cfu)
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
Teorie in didattica della matematica (6 cfu)
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
6 cfu a scelta nel gruppo ModAffInt
- Moduli affini e integrativi
Coomologia Étale (6 cfu)
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
- Morfismi étale, topologia étale, coomologia étale: definizioni e proprietà di base. Esempi rilevanti.
Metodi numerici per equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
- L'obiettivo principale del corso è lo studio della soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante metodi numerici avanzati. Obiettivo è quello di fornire agli studenti da una parte gli strumenti teorici necessari alla costruzione degli opportuni spazi di approssimazione funzionale delle soluzioni, dall'altra di discutere le conseguenze dal punto di vista numerico e dell'algebra lineare delle scelte fatte.
Aspetti matematici nella computazione quantistica (6 cfu)
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
- Modelli di computazione quantistica: gate e circuiti quantistici, modello adiabatico. Quantum walk e applicazioni, elementi di teoria dell'informazione quantistica.
Combinatoria algebrica (6 cfu)
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
- Studio delle interazioni tra combinatoria enumerativa, funzioni (quasi) simmetriche e rappresentazioni
Analisi superiore A (6 cfu)
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
- l'obiettivo del corso è quello di introdurre, discutere e conoscere alcuni argomenti avanzati dell'Analisi Matematica moderna, tra i quali ad esempio lo studio delle funzioni BV, degli insiemi di perimetro
finito, di problemi isoperimetrici e di tipo clustering, ed altri.
Geometria iperbolica (6 cfu)
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
- Lo spazio iperbolico. Esempi e costruzioni di varietà iperboliche. Proprietà topologiche e geometriche di varietà iperboliche.
Fondamenti della matematica (6 cfu)
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
- Sistemi formali e teorie fondazionali.
Geometria algebrica B (6 cfu)
- Varietà complesse, metodi trascendenti
- Varietà complesse, metodi trascendenti
Analisi complessa A (6 cfu)
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
- Il fascio dei germi delle funzioni analitiche; Nullstellensatz; spazi analitici; Teoremi A e B di Cartan.
Geometria simplettica (6 cfu)
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
- Varietà simplettiche. Esempi standard. Teorema di Darboux. Strutture quasi-complesse compatibili.
Determinazione orbitale (6 cfu)
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
- Problema dei minimi quadrati, simmetrie e degenerazioni. Problema dell'identificazione. Orbite preliminari. Soluzioni deboli. Incontri ravvicinati e monitoraggio degli impatti. Campo gravitazionale di un corpo esteso, problema del satellite. Perturbazioni non-gravitazionali, geodesia e gravimetria spaziale, terrestre e interplanetaria.
Logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
- Calcolo dei predicati. Teoremi di incompletezza di Godel. Decidibilità e indecidibilità.
Problemi di evoluzione (6 cfu)
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
- Equazioni astratte, scale di Banach. Teorema di Cauchy-Kovalewski. Caratteristiche. Equazione delle onde. Sistemi iperbolici a coefficienti costanti. Condizioni di Hadamard-Garding. Sistemi simmetrici, metodo dell'energia. Sistemi strettamente iperbolici. Simmetrizzatore micro-locale.
Calcolo scientifico (6 cfu)
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
- Problemi di minimi quadrati, metodi del gradiente, decomposizione a valori singolari, calcolo di autovalori.
Elementi di analisi complessa (6 cfu)
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
- Teorema di uniformizzazione di Riemann; proprietà geometriche del gruppo delle omografie; principio di simmetria e sue applicazioni; un modello di piano iperbolico; cenni sulle funzioni di più variabili complesse.
Calcolo delle variazioni B (6 cfu)
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
- Teoria della regolarità per minimi di funzionali integrali.
Algebre e gruppi di Lie (6 cfu)
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
- Teoremi di struttura per le algebre di Lie di dimensione finita (incluso il caso delle algebre semisemplici complesse). Gruppi di Lie e relazione con le algebre di Lie. Introduzione alla teoria delle rappresentazioni delle algebre e gruppi di Lie.
Origini e sviluppo delle matematiche moderne (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica moderna: inquadramento generale, lettura diretta di testi, discussione della letteratura in materia.
Teoria descrittiva della complessità (6 cfu)
- Modelli finiti e complessità computazionale
- Modelli finiti e complessità computazionale
Elementi di calcolo in gruppi omogenei (6 cfu)
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
- Gruppi di Lie nilpotenti semplicemente connessi: dilatazioni intrinseche, distanze invarianti, misura di Haar. Differenziabilità rispetto l'operazione di gruppo e le dilatazioni.
Dinamica olomorfa (6 cfu)
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
- Insiemi di Julia e di Fatou; dinamica di funzioni olomorfe di una variabile.
Spazi simmetrici (6 cfu)
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
- Gruppi di Lie. Algebre di Lie. Spazi localmente simmetrici e spazi simmetrici.
Teoria del controllo ottimo (6 cfu)
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
- Problemi di controllo di energia minima e di tempo minimo; esistenza e di sensitività delle soluzioni; principio di massimo di Pontryagin, approccio di programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
Funzioni speciali (6 cfu)
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
- Funzione gamma di Eulero: equazioni funzionali, formula di Stirling. Funzioni ellittiche: funzione P di Weierstrass. Elementi della teoria della funzione zeta di Riemann. Soluzioni di equazioni differenziali lineari a coefficienti analitici: funzione ipergeometrica, funzioni di Bessel.
Geometria algebrica C (6 cfu)
- Curve e superfici di Riemann.
- Curve e superfici di Riemann.
Probabilità (6 cfu)
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
- Complementi di misura e integrazione: integrazione delle variabili aleatorie. Indipendenza di variabili aleatorie: leggi 0-1. Le funzioni caratteristiche. Convergenza di variabili aleatorie. Teoremi limite (leggi dei Grandi Numeri e teorema del Limite Centrale). Due esempi di processi stocastici: il processo di Wiener e il processo di Poisson.
Onde lineari e non lineari (6 cfu)
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
- Principali proprietà delle soluzioni delle equazioni delle onde lineari e non lineari; proprietà dispersive delle soluzioni e decadimento dell'energia locale.
Algebra lineare e multilineare (6 cfu)
- Strutture algebriche lineari.
- Strutture algebriche lineari.
Introduzione alla meccanica quantistica (6 cfu)
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
- Meccanica quantistica delle particelle: dualità onda/particella, principio di sovrapposizione, principio di indeterminazione, equazione di Schroedinger.
Geometria di contatto (6 cfu)
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
- Varietà di contatto. Esempi standard. Teorema di Darboux. Nodi Legendriani e trasversi. Libri aperti e strutture di contatto.
Problem solving (6 cfu)
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
- Ruolo dei problemi nell’insegnamento della matematica; euristiche; problem solving e problem posing.
Teoria dei giochi (6 cfu)
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
- Equilibri nei modelli di giochi noncooperativi, teoria dei giochi cooperativi, giochi posizionali e giochi differenziali
Complementi di analisi funzionale (6 cfu)
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
- Spazi vettoriali topologici, misure e distribuzioni. Convoluzione, trasformata di Fourier, teorema di Paley-Wiener ed applicazioni alle EDP. Teoria spettrale per operatori non limitati. Calcolo operazionale, semigruppi di operatori. Teorema di Malgrange-Ehrenpreis. Teoremi di punto fisso in dimensione infinita ed applicazioni alle EDP.
Algebra computazionale A (6 cfu)
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
- Aritmetica, fattorizzazione, integrazione.
Gruppi e rappresentazioni (6 cfu)
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
- Rappresentazioni di gruppi finiti. Esempi di classi di gruppi.
Sistemi dinamici (6 cfu)
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
- Sistemi dinamici lineari (con richiami di algebra lineare), stabilità e teoria qualitativa per sistemi dinamici non lineari, formalismo hamiltoniano e lagrangiano ad un grado di libertà, sistemi dinamici discreti, un esempio elementare di caos.
Statistica Superiore (6 cfu)
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
- Il corso si propone di fornirei:
• Conoscenze fondamentali di statistica multivariata utili per l’analisi di tabelle di dati e serie storiche.
• Abilità nell’uso del software statistico R.
L’allievo al termine del corso conoscerà la teoria riguardante l’analisi di dati e serie storiche, sarà in grado di esaminare tabelle di dati e serie storiche tramite metodologie di statistica multivariata e saprà dare conclusioni quantitative per mezzo del software R. In particolare saprà quindi conoscere e saper applicare:
• La regressione lineare multipla.
• Il metodo delle componenti principali e analisi fattoriale.
• Metodi di classificazione e clustering.
• Metodi di analisi e previsione di serie storiche.
Geometria degli spazi metrici (6 cfu)
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
- Nozioni di curvatura. Quasi isometrie. Geometria a larga scala.
Teoria dei codici e crittografia (6 cfu)
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
- Trasmissione dei dati, stutture matematiche per la correzione efficiente degli errori di trasmissione. Principali codici correttori, loro proprietà e decodifica. Principali problemi crittografici: cifratura, firma, identificazione, integrità dei dati. Principali protocolli crittografici e problemi matematici soggiacenti.
Analisi convessa (6 cfu)
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
- Topologie deboli su spazi di Banach, funzioni convesse, calcolo in spazi di Banach, sottodifferenziale, disequazioni variazionali, multifunzioni.
Topologia e geometria in bassa dimensione (6 cfu)
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
- Varietà topologiche, lineari a pezzi e differenziabili di dimensione minore di 5.
Spazi di funzioni (6 cfu)
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
- Proprietà fini delle funzioni derivabili in senso debole: funzioni di Sobolev e BV, insiemi di perimetro finito. Altri spazi di funzioni. Riarrangiamento e disuguaglianze funzionali.
Topologia generale (6 cfu)
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
- Spazi normali, teorema di Urysohn, compattificazioni, teorema di Baire, paracompattezza, partizioni dell’unità.
Probabilità superiore (6 cfu)
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
- Presentazione di una selezione di argomenti avanzati di probabilità quali Spazi Gaussiani, Calcolo di Malliavin, processi di Levy e Levy-stabili.
Equazioni alle derivate parziali 2 (6 cfu)
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
- Selezione di argomenti avanzati della teoria delle equazioni alle derivate parziali.
Didattica della matematica e nuove tecnologie (6 cfu)
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
- Metodologie, modelli e materiali didattici in contesti di aula
multimediale; ruolo delle tecnologie nell'insegnamento / apprendimento della matematica: software didattici e lavagne interattive multimediali.
Equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
- Problema di Cauchy. Equazioni di Bernoulli, D'Alembert, Clairaut, Eulero, Riccati. Metodo di Peano. Equazioni lineari. Dipendenza regolare dai dati. Soluzioni massimali. Equilibri. Problemi di Sturm- Liouville.
Geometria algebrica D (6 cfu)
- Tori complessi e varietà abeliane.
- Tori complessi e varietà abeliane.
Elementi di algebra computazionale (6 cfu)
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
- Rappresentazione di interi e polinomi. Algoritmi algebrici fondamentati. Sistemi di calcolo algebrico.
Campi ciclotomici (6 cfu)
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
- Caratteri di Dirichlet, serie L di Dirichlet, numeri di Bernoulli, fomrula del numero di classi, teorema di Stickelberger.
Analisi microlocale (6 cfu)
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
- Operatori pseudodifferenziali. Integrali oscillanti. Fronte d'onda e propagazione delle singolarità. Teorema di Hörmander. Ottica geometrica e operatori integrali di Fourier. Disuguaglianza di Fefferman- Phong. Calcolo paradifferenziale. Teoria di Littlewood- Paley. Localizzazione in spazi di frequenza. Spazi di Besov.
Elementi di geometria algebrica (6 cfu)
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
- Varietà affini, proiettive e quasi-proiettive. Morfismi. Applicazioni razionali. Punti lisci e dimensione.
Algebra 2 (6 cfu)
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
- Gruppi: azioni di gruppi, costruzioni e presentazioni di gruppi. Moduli e caratterizzazione dei moduli su un PID. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Basi di Groebner e applicazioni.
4-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 4-varietà. Esempi e costruzioni di 4-varietà.
Analisi matematica 3 (6 cfu)
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
- Spazi di Hilbert. Spazi di Lebesgue L^p. Convoluzione di funzioni. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Formula dell'area e integrazione su superfici. Funzioni armoniche.
Algebra 1 (6 cfu)
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
- Gruppi: teoremi di omomorfismo, permutazioni, gruppi abeliani finiti. Anelli e ideali, anelli speciali, anelli di polinomi. Elementi di teoria di Galois.
Introduzione all'analisi p-adica (6 cfu)
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
- Struttura dei numeri p-adici; continuità, differenziabilità e analiticità in campo p-adico.
Algoritmi e strutture dei dati (6 cfu)
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
- Strutture dei dati, analisi di algoritmi e complessità, progetto di algoritmi.
Teoria delle categorie (6 cfu)
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
- Categorie, funtori; aggiunti; limiti, colimiti; fasci, topoi.
Matematica per l’insegnamento alla scuola secondaria di primo grado B (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Spazio e Figure e Relazioni e Funzioni); discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Il corso ripercorre e approfondisce da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti in due dei quattro ambiti all’interno delle Indicazioni Nazionali:: Spazio e Figure e Relazione e Funzioni presentandone e discutendone gli aspetti di complessità didattica rispetto allo specifico livello scolare (con riferimento ai risultati di ricerca più recenti nel settore).
In particolare saranno trattati i seguenti contenuti matematici:
Le proprietà delle principali figure piane (triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, cerchio).
Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti.
La misura.
La rappresentazione piana delle figure tridimensionali e lo studio dei solidi più comuni.
La stima delle grandezze.
Il piano cartesiano.
Relazioni e funzioni e loro rappresentazioni.
La manipolazione delle prime formule algebriche e il concetto di proporzionalità.
Teoria dei nodi B (6 cfu)
- Invarianti non classici.
- Invarianti non classici.
Teoria dei semigruppi (6 cfu)
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
- Semigruppi di operatori, applicazioni alle equazioni di evoluzione
Ricerca operativa (6 cfu)
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
- Grafi, programmazione lineare, programmazione intera, elementi di teoria
dell'ottimizzazione.
Analisi non standard (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
- Fondamenti dell'analisi non standard, scelta di applicazioni ad altre aree della matematica.
Teoria dei campi e teoria di Galois (6 cfu)
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
- Estensioni algebriche ed estensioni trascendenti, chiusura algebrica, separabilità, teoria di Galois, risolubilità, estensioni abeliane, teoria di Kummer.
Teoria e metodi dell'ottimizzazione (6 cfu)
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
- Ottimizzazione non lineare: condizioni di ottimalità per problemi vincolati e non vincolati, teoria della dualità, metodi risolutivi per problemi vincolati e non vincolati, applicazioni.
Analisi superiore B (6 cfu)
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
- lo scopo del corso è l'introduzione di strumenti e tecniche
avanzate finalizzate allo studio delle equazioni a derivate parziali. Gli argomenti trattati spaziano dalla teoria dei semigruppi agli operatori illimitati, dalla teoria delle distribuzioni all'analisi microlocale.
Elementi avanzati di algebra lineare numerica (6 cfu)
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
- Metodi di Krylov, GMRES, BiCG, polinomi di matrici, problemi polinomiali agli autovalori, funzioni di matrici.
Problemi e metodi della ricerca in didattica della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla ricerca
in didattica della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di tale campo di ricerca (sia quelle classiche che quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Spazi di Sobolev (6 cfu)
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
- conoscenza teorica ed operativa dei seguenti argomenti: spazi di Sobolev in domini limitati ed illimitati e le loro applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
Elementi di topologia algebrica (6 cfu)
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
- Omologia simpliciale e singolare, CW complessi, coomologia, prodotto cup, dualità di Poincaré.
Storia della matematica antica e della sua tradizione (6 cfu)
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
- Problematiche e metodologie necessarie per affrontare una ricerca nel campo della storia della matematica antica: inquadramento generale (caratteristiche della matematica greca, concetto di tradizione testuale, edizioni di riferimento), lettura diretta di testi legati a un autore classico o a una problematica, e studio della tradizione rinascimentale e dell'impatto sulla nascita della matematica moderna.
Tecnologie per la didattica (6 cfu)
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
- Ruolo delle tecnologie nell’apprendimento / insegnamento della matematica; uso e costruzione di strumenti didattici informatici, multimediali e telematici
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della matematica.
I processi di insegnamento e apprendimento mediati dall'uso delle tecnologie nell'ambito della matematica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della matematica.
Curve ellittiche (6 cfu)
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
- Curve ellittiche su campi di numeri e su campi finiti. Teorema di Mordell-Weil, teorema di Hasse-Weil, congettura di Birch-Swinnerton-Dyer. Esempi e applicazioni.
Gruppi algebrici lineari (6 cfu)
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
- Gruppi algebrici lineari e spazi omogenei associati: costruzioni di base. Gruppi risolubili connessi, sottogruppi di Borel, tori massimali; gruppi riduttivi. Applicazioni alla teoria geometrica degli invarianti.
Applicazioni della fluidodinamica alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni della fluidodinamica (equazioni di Eulero, di Stokes, di Navier - Stokes ed altre equazioni e modelli di flussi) ai modelli matematici nella biomedicina.
Applicazioni di equazioni differenziali alla biomedicina (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali delle applicazioni delle equazioni differenziali (equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali paraboliche, ellittiche o dispersive) ai modelli matematici nella neuroscienza o in oncologia.
Teoria dei gruppi (6 cfu)
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
- Serie di composizione, gruppi di permutazioni, gruppi nilpotenti, gruppi risolubili.
3-varietà (6 cfu)
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
- Risultati classici sulla topologia delle 3-varietà. Esempi e costruzioni di 3-varietà.
Fisica III (6 cfu)
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
- Sistemi e trasformazioni termodinamiche, gas perfetto, prima e seconda legge, temperatura ed entropia; potenziali ritardati, relatività speciale e legami con l'elettromagnetismo, cenni su argomenti di fisica moderna (meccanica quantistica e altro).
Geometria algebrica E (6 cfu)
- Superfici algebriche.
- Superfici algebriche.
Teoria ergodica (6 cfu)
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
- Teoremi di Krein-Milman e di Choquet, teoria spettrale. Esempi di base. Teoremi di Poincaré, Birkhoff, von Neumann. Decomposizione ergodica. "Mixing" e "weak mixing". Operatore di Perron- Frobenius. Decadimento delle correlazioni. Entropia. Dinamica simbolica. Catene di Markov e misura di Parry.
Teoria dei codici (6 cfu)
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
- Trasmissione con errore, correzione d'errore. Famiglie di codici correttori. Metodi di geometria algebrica e algebra computazionale per la costruzione di codici e la decodifica.
Laboratorio di fisica per l'insegnamento (6 cfu)
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
- Sviluppare competenze nella gestione di esperienze di
laboratorio, fornire basi teoriche di un approccio alla misura.
Le metodologie e tecnologie didattiche specifiche per l'insegnamento scolastico della fisica.
La progettazione e lo sviluppo delle attività di insegnamento relative alla fisica.
Gli strumenti tecnologici per l'insegnamento e apprendimento della fisica
Teoria dei numeri elementare (6 cfu)
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
- Congruenze di grado superiore al primo e struttura moltiplicativa delle classi di resto. Proprietà algebriche e asintotiche delle funzioni aritmetiche. Problemi additivi e moltiplicativi legati alla distribuzione dei numeri primi. Approssimazioni razionali di numeri algebrici e trascendenti
Geometria reale computazionale (6 cfu)
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
- Campi formalmente reali. Numeri algebrici reali, varietà algebriche reali. Algoritmi e applicazioni.
Topologia Algebrica A (6 cfu)
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
- Teoria classica dell’omotopia e successioni spettrali.
Superfici minime (6 cfu)
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
- Risultati di esistenza per superfici minime: approccio classico, insiemi di perimetro finito, correnti. Alcuni risultati di regolarità per le ipersuperfici minime.
Analisi complessa B (6 cfu)
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
- Funzioni plurisubarmoniche; domini pseudoconvessi; equazione del de-bar.
Teoria dei controlli (6 cfu)
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
- Teoria di controllabilità, osservabilità e stabilizzazione via feedback; modelli di controllo lineari; teoria geometrica di controllabilità per sistemi regolari; sistemi switching e sistemi ibridi.
Dinamica iperbolica (6 cfu)
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
- Sistemi dinamici iperbolici; dinamica in dimensione bassa.
Algebra omologica (6 cfu)
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
- Moduli proiettivi e iniettivi. Categorie e funtori. Funtori aggiunti. Categorie di moduli. Successioni esatte, risoluzioni, funtori derivati. (Co)omologia di gruppi e algebre.
Analisi in spazi metrici (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi su spazi metrici.
Topologia differenziale (6 cfu)
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
- Funzioni di Morse e decomposizioni in manici. Teorema dell'h-cobordismo.
Equazioni ellittiche (6 cfu)
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
- Teoria della regolarità. Equazioni in forma di divergenza. Equazioni non variazionali. Equazioni non lineari. Problemi al contorno. Frontiera libera. Problemi con ostacolo. Equazioni degeneri. Teoria del potenziale. Funzioni armoniche. Interpolazione. Autovalori.
Meccanica celeste (6 cfu)
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
- Singolarità e orbite periodiche nel problema degli N corpi
Metodi numerici per l’analisi di Fourier (6 cfu)
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
- Serie di Fourier e trasformata di Fourier. Trasformata discreta di Fourier, trasformate trigonometriche. Algoritmi veloci per il calcolo delle trasformate discrete.
Ultrafiltri e metodi nonstandard (6 cfu)
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
- Ultrafiltri e ultrapotenze. Fondamenti dell'analisi non-standard. Applicazioni alla teoria di Ramsey e alla teoria combinatoria dei numeri.
Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni (6 cfu)
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
- Introduzione ai teoremi di esistenza ed unicità (debole o forte) per equazioni differenziali stocastiche ordinarie, legami con le equazioni alle derivate parziali, applicazioni in ambito fisico o biologico.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: aritmetica (6 cfu)
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
- Gli insiemi numerici: possibili introduzioni, proprietà
Elementi di meccanica celeste (6 cfu)
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
- Problema dei 2 corpi ed equazione di Keplero. Problema dei 3 corpi ristretto circolare, integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill, cenni su orbite confinate ma caotiche. Maree ed evoluzione mareale nel sistema solare; la Terra come corpo esteso.
Storia della matematica (6 cfu)
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
- Il corso è di tipo istituzionale e intende offrire una panoramica delle grandi linee di sviluppo della matematica occidentale sino agli inizi del XX secolo. A questo aspetto verrà, di anno in anno accoppiato un approfondimento di uno o più temi rilevanti quali: la nascita del calcolo infinitesimale, l’aritmetizzazione dell’analisi (Cauchy, Dirichlet, Riemann and Weierstrass), la storia delle geometrie non euclidee, la storia della geometria differenziale.
Algebra computazionale B (6 cfu)
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
- Metodi effettivi per la risoluzione di sistemi di equazioni polimonmiali.
Complementi di fisica (6 cfu)
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
- Onde. Elementi di relatività ristretta. Equazioni d'onda relativistiche. Complementi di termodinamica e statistica.
Statistica matematica (6 cfu)
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
- Modelli statistici: modelli dominati. Stime: stime consistenti e di Massima verosimiglianza. Intervalli di fiducia e test. I principali test sui modelli gaussiani (di Student, di Fisher Snedecor). Modelli statistici non parametrici: teorema di Glivenko-Cantelli e e test del chi-quadro.
Analisi reale (6 cfu)
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
- Fondamenti dell'analisi reale (teoria della misura, spazi di funzioni).
Meccanica spaziale (6 cfu)
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
- Moto di satelliti artificiali e sonde spaziali, missioni spaziali interplanetarie.
Dinamica del sistema solare (6 cfu)
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
- Equazioni del moto dei pianeti. Teorie perturbative ed elementi propri degli asteroidi. Effetti dissipativi su asteroidi e sistemi satellitari.
Processi stocastici (6 cfu)
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
- Processi di Markov, forme di Dirichlet, processi gaussiani.
Teoria dei nodi A (6 cfu)
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
- Invarianti di nodi e di link. Trecce.
Meccanica superiore (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
- Obiettivi formativi: Indicatori di comportamento caotico e metodi ergodici per sistemi meccanici
Geometria algebrica F (6 cfu)
- Varietà toriche.
- Varietà toriche.
Teoria analitica dei numeri B (6 cfu)
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
- Problemi analitici di natura additiva con particolare riferimento al metodo di Hardy e Littlewood
Elementi di probabilità e statistica (6 cfu)
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
- Probabilità su spazi numerabili: condizionamento, indipendenza, variabili aleatorie. Variabili aleatorie con densità: variabili gaussiane. Inferenza statistica: stima, test, intervalli di fiducia. Principali test statistici su modelli gaussiani.
Metodi topologici in analisi globale (6 cfu)
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
- Elementi di analisi non lineare per alcuni problemi di tipo “globale”, quali: il problema della sella, il punto fisso di Brouwer, le dimensioni e l’invarianza del dominio, la pettinabilità della sfera, il problema di Jordan. Applicazioni alle equazioni differenziali.
Finanza matematica (6 cfu)
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
- Assenza di arbitraggio e valutazione degli attivi nei modelli finanziari a tempi finiti. Modelli di diffusione: formule di Black-Scholes, modelli a volatilta locale e a volatilita stocastica. Modelli per la struttura a ter-mine dei tassi d'interesse. Introduzione alla teoria delle misure di rischio.
Gruppi di Coxeter (6 cfu)
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
- Sistemi di radici e gruppi generati da riflessioni.
Teoria della misura (6 cfu)
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
- Misure astratte, misure su uno spazio topologico, integrale di Daniell, convergenze di misure.
Equazioni della fluidodinamica (6 cfu)
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
- Introduzione alla teoria matematica delle equazioni alle derivate parziali della meccanica dei continui e in particolare a quelle di Eulero e Navier-Stokes per fluidi incomprimibili.
Metodi topologici per le equazioni differenziali (6 cfu)
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
- Teorie topologiche variazionali o non variazionali per alcune classi di equazioni non lineari di tipo differenziale o integrale.
Geometria reale B (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
- Geometria degli insiemi semianalitici e subanalitici.
Meccanica relativistica (6 cfu)
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
- Relatività speciale e principio di equivalenza di Einstein. Spazio-tempo come varietà. Moto lungo una geodetica. Equazioni di Einstein per la curvatura dello spazio-tempo. Metrica di Schwarzschild e di Kerr. Esempi di osservabili relativistiche
Meccanica razionale (6 cfu)
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
- Fondamenti di meccanica newtoniana, equazioni cardinali, moti centrali, corpo rigido, moti vincolati ed equazioni di Lagrange, integrali primi e riduzione, equilibri e piccole oscillazioni.
Metodi numerici per la grafica (6 cfu)
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
- Parametrizzazione interpolazione e approssimazione di curve e superfici. Curve e superfici di Bezier, B-spline.
Crittografia post-quantistica (6 cfu)
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
- Il corso studia l'impatto sulle correnti infrastrutture crittografiche dello sviluppo di calcolatori quantistici, alcuni problemi matematici resistenti a risoluzione quantistica efficiente, e il loro utilizzo per la costruzione di protocolli crittografici con sicurezza post-quantistica.
Teoria algebrica dei numeri 3 (6 cfu)
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
- Teoria locale e globale dei campi di classi, applicazioni.
Algebra non commutativa (6 cfu)
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
- Anelli e moduli semisemplici. Algebre semplici centrali, gruppo di Brauer. Forme quadratiche su campi arbitrari, gruppo di Witt, algebre di Clifford.
Teoria algebrica dei numeri 2 (6 cfu)
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
- Valori assoluti, campi locali, differente, discriminante, ramificazione, gruppi di ramificazione.
Metodi di approssimazione (6 cfu)
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
- Risoluzione numerica di equazioni matriciali. Algoritmi numerici per matrici con struttura.
Forme modulari (6 cfu)
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
- L-serie, equazioni funzionali e operatori di Heck
Teoria delle funzioni (6 cfu)
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
- Elementi della teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa: serie di Mittag-Leffler,fattorizzazione di Weierstrass, fattorizzazione delle funzioni intere di ordine finito, sviluppi asintotici, teorema di Picard.
Elementi di logica matematica (6 cfu)
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
- Calcolo dei predicati. Sistemi formali. Teorema di completezza.
Teoria della dimostrazione (6 cfu)
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
- Il concetto formale di dimostrazione. Sistemi dimostrativi. Logiche non classiche. Analisi ordinale
Geometria reale A (6 cfu)
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
- Geometria degli insiemi semialgebrici. Algebra reale. Strutture o-minimali.
Teoria della calcolabilità (6 cfu)
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
- Modelli di calcolo e funzioni calcolabili.
Operatori differenziali e teoremi dell’indice (6 cfu)
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
- Algebre di Clifford. Operatori di Dirac. Teoremi dell'indice.
Metodi decisionali guidati dai modelli (6 cfu)
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
- Ottimalità e algoritmi, algoritmi euristici, tecniche di rilassamento, algoritmi enumerativi. Software di ottimizzazione.
Geometria e topologia delle superfici (6 cfu)
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
- Spazio di Teichmüller; laminazioni geodetiche; complessi di curve.
Teoria analitica dei numeri A (6 cfu)
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
- Problemi legati alla distribuzione dei primi; la Zeta di Riemann e le funzioni L di Dirichlet.
Geometria algebrica G (6 cfu)
- Varietà algebriche di dimensione alta
- Varietà algebriche di dimensione alta
Introduzione alla teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
- Misure e dimensione di Hausdorff. Insiemi rettificabli. Formula dell'area e della coarea
Teoria algebrica dei numeri 1 (6 cfu)
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
- Campi di numeri, interi dei campi di numeri; fattorizzazione unica degli ideali, ramificazione, gruppo delle classi di ideali, teorema delle unità di Dirichlet.
Elementi di teoria degli insiemi (6 cfu)
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
- Nozioni di logica. Teoria assiomatica degli insiemi. Cardinali. Ordinali.
Teoria geometrica della misura (6 cfu)
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
- Nozioni di base di teoria geometrica della misura. Correnti normali ed intere. Esistenza delle soluzioni per il problema di Plateau omologico. Varifold.
Analisi armonica (6 cfu)
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
- Fondamenti dell'Analisi armonica, interpolazione reale e comlessa, spazi di Lorentz, funzioni massimali, teoria di Calderon-Zygmund, spazi BMO, moltiplicatori di Fourier, integrali oscillanti e teoremi di restizione.
Calcolo delle variazioni A (6 cfu)
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
- Il metodo diretto nel calcolo delle variazioni. Condizioni necessarie e sufficienti di semicontinuità inferiore per funzionali integrali su spazi di Sobolev di funzioni scalari. Il caso vettoriale. Integrali invarianti. Misure di Young e misure di Young gradienti. Convessità, convessità di rango-uno, quasiconessità, policonvessità. Rilassamento.
Analisi geometrica (6 cfu)
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
- Argomenti scelti nell'ambito dell'analisi geometrica.
Geometria riemanniana (6 cfu)
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
- Relazioni fra curvatura e topologia; teoremi di confronto e di pinching.
Algebra commutativa e geometria algebrica computazionale (6 cfu)
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
- Costruzioni e algoritmi per l'algebra commutativa e la geometria algebrica, applicazioni.
Teoria dei modelli (6 cfu)
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
- Modelli di teorie del primo ordine. Compattezza. Equivalenza elementare. Applicazioni all'aritmetica, ai campi, e ad altre strutture algebrico-relazionali.
Matematiche elementari da un punto di vista superiore: geometria (6 cfu)
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
- Assiomatiche per la geometria euclidea; geometrie non euclidee; trasformazioni geometriche
Metodi di analisi armonica in analisi non lineare (6 cfu)
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
- Concetti fondamentali di analisi armonica (operatori massimali, operatori di Calderon-Zygmund, decomposizione di Littlewood–Paley), studio di diseguaglianze funzionali nello spazio euclideo e relative applicazioni a problemi non lineari.
Topologia Algebrica B (6 cfu)
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
- Topologia algebrica e combinatoria, con applicazioni agli arrangiamenti di iperpiani e spazi correlati.
Teoria degli insiemi A (6 cfu)
- Insiemi costruibili e forcing.
- Insiemi costruibili e forcing.
Teoria degli insiemi B (6 cfu)
- Grandi cardinali.
- Grandi cardinali.
Rappresentazioni di Galois p-adiche (6 cfu)
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
- Campi p-adici, loro estensioni e loro gruppi di Galois, il campo C_p. Campi perfettoidi, il caso di base dell'equivalenza di "tilting" di Scholze. Classificazione di Fontaine delle rappresentazioni di Galois p-adiche. Anelli di periodi, cenni di teoria di Hodge p-adica.
Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie (6 cfu)
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
- Problemi ai valori iniziali e ai valori limite, metodi a un passo, metodi a più passi, metodi di shooting.
2-varietà (6 cfu)
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
- Varietà di dimensione due e loro automorfismi.
Algebra superiore B (6 cfu)
- Algebre e loro rappresentazioni
- Algebre e loro rappresentazioni
Matematica per l'insegnamento alla scuola secondaria di primo grado A (6 cfu)
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
- Il corso intende ripercorrere da un punto di vista superiore i contenuti matematici previsti nell’insegnamento a livello di scuola secondaria di primo grado (con riferimento agli obiettivi di apprendimento e traguardi per competenza delle Indicazioni Nazionali per il primo ciclo per gli ambiti Numeri e Dati e Previsioni) discutendo i principali nodi concettuali e didattici relativi all’insegnamento di tali contenuti a livello di scuola secondaria di primo grado.
Geometria e topologia differenziale (6 cfu)
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
- Geometria differenziale di curve e superfici nello spazio euclideo, introduzione a varietà e mappe differenziabili in dimensione n.
Geometria differenziale complessa (6 cfu)
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
- Varietà complesse; coomologia di Dolbeault; varietà di Stein; metriche e distanze intrinseche.
Matematica discreta (6 cfu)
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
- Calcolo combinatorio, funzioni generatrici, grafi, teoria di Ramsey.
Algebra superiore A (6 cfu)
- Algebra commutativa.
- Algebra commutativa.
Sistemi dinamici discreti (6 cfu)
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
- Dinamica topologica; insiemi iperbolici; teoria ergodica.
Fisica matematica (6 cfu)
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
- Approfondimenti sulla teoria dei Sistemi Dinamici e sulla Meccanica Hamiltoniana. Studio di sistemi integrabili perturbati, continui e discreti.
Problemi e metodi in storia della matematica (6 cfu)
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
- Il corso, rivolto agli studenti interessati alla
ricerca in storia della matematica o anche solo ad approfondire una visione degli aspetti culturali della matematica, intende dare l’opportunità di conoscere e confrontarsi con le problematiche tipiche di questo campo di ricerca (sia quelle classiche sia quelle più recenti) e con i metodi di ricerca utilizzati.
Metodi matematici della crittografia (6 cfu)
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
- Metodi ed algoritmi matematici applicati alla crittografia ed alla crittanalisi: fattorizzazione, logaritmo discreto. Curve ellittiche, fattorizzazione e crittografia ellittica ed iperellittica. Reticoli.
Metodi numerici per catene di Markov (6 cfu)
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
- Matrici nonnegative e teorema di Perron-Frobenius. Metodi per catene di Markov finite e infinite. Modelli di code e loro matrici di transizione.
Analisi dei dati (6 cfu)
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
- Il corso introduce alcuni degli argomenti fondamentali in data science con una prospettiva matematica, quali ad esempio statistical learning, una introduzione a machine learning e data mining, analisi di dati sequenziali, ottimizzazione.
Equazioni iperboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo iperbolico, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Modelli matematici in biomedicina e fisica matematica (6 cfu)
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
- Obiettivi formativi: Equazioni differenziali ordinarie con effetti dissipativi (ritardo, memoria, etc) e stabilità, e loro applicazioni in biomedicina. Equazioni alle derivate parziali e loro applicazioni in fisica matematica.
Equazioni alle derivate parziali (6 cfu)
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
- Equazioni e sistemi del primo ordine. Rappresentazione esplicita delle soluzioni delle equazioni di Laplace, del calore, e delle onde. Proprietà qualitative delle soluzioni: principio del massimo, unicità, regolarità e dispersione.
Geometria reale C (6 cfu)
- Topologia delle curve e superfici reali.
- Topologia delle curve e superfici reali.
Equazioni paraboliche (6 cfu)
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
- Equazioni differenziali di tipo parabolico, lineari e non lineari, risultati fondamentali e selezione di argomenti avanzati.
Metodi di ottimizzazione delle reti (6 cfu)
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
- Algoritmi ad hoc per problemi di flusso su rete, routing in reti di comunicazione, progetto di reti di comunicazione, reti di trasporto.
Geometria algebrica A (6 cfu)
- Schemi, fasci, coomologia.
- Schemi, fasci, coomologia.
Analisi non lineare (6 cfu)
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
- Teorie e metodi sul comportamento globale di operatori non lineari, fra spazi di dimensione finita o spazi di funzioni, collegati con classici problemio equazioni non lineari.
Matematica e musica (6 cfu)
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
- Formalizzazione algebrica delle strutture musicali.
Capacità non lineare, disequazioni variazionali e applicazioni (6 cfu)
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
- Il percorso scelto ci permetterà di illustrare alcune tecniche e argomenti classici per trovare condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto di frontiera sia regolare relativamente al problema di Dirichlet non omogeneo per l'operatore di Laplace non-lineare (il cosiddetto p-laplaciano).
Complementi di didattica della matematica (6 cfu)
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
- Processi di apprendimento della matematica; contesti e tipi di razionalità; ostacoli epistemologici e didattici nell’insegnamento della matematica
Meccanica dei continui (6 cfu)
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
- Richiami di calcolo tensoriale, meccanica dei continui
tridimensionali e dei continui unidimensionali (anche con struttura).
Elementi di calcolo delle variazioni (6 cfu)
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
- Principi variazionali in una e più variabili. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni sufficienti di minimalità. Esempi classici di problemi variazionali. Funzioni assolutamente continue e metodo diretto. Geodetiche. Teorema del passo montano e principi di minimax.
Funzioni L (6 cfu)
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
- Funzioni L classiche (zeta di Riemann e di Dedekind, funzioni L di
Dirichlet e di Hecke): proprietà di base e applicazioni aritmetiche. Valori speciali delle funzioni L, formula analitica del numero di classe. Approccio adelico di Tate alla continuazione analitica delle funzioni L di Hecke.
Teorie in didattica della matematica (6 cfu)
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
- Condividere le caratteristiche proprie delle teorie e dei quadri teorici in didattica della matematica. Analizzare in profondità alcune tra le teorie più consolidate, riflettendo anche sulle peculiarità di una singola teoria e il campo di applicabilità.
